Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Terminale S,C et D : Sciences Physiques Situations d'intégration sur : Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme Classe de Terminale S,C et D Enseignant : Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de l'Enseignement secondaire Sommaire Exercice 1 : Accélérateur linéaire et déviation magnétique Exercice 2 : Spectrographe de masse, isotopes du potassium Exercice 3 : Sélecteur de vitesse et chambre de déviation Exercice 4 : Composition isotopique de l'oxygène naturel Exercice 5 : Spectrographe de masse, isotopes du cuivre Exercice 6 : Le cyclotron Exercice 1 : Accélérateur linéaire et déviation magnétique Un oscilloscope, un vieux téléviseur à tube cathodique ou un accélérateur médical de radiothérapie ont un point commun : ils accélèrent des particules chargées puis contrôlent leur trajectoire à l'aide d'un champ magnétique, exactement comme dans les premières expériences qui ont permis, à la fin du XIX e siècle, de mettre en évidence l'existence de particules chargées invisibles à l'œil nu et de mesurer leurs propriétés. On se propose de comprendre, sur l'exemple de protons H + , comment un tel dispositif permet de maîtriser totalement la trajectoire d'une particule qu'on ne peut jamais observer directement. Des protons H + de masse $m = 1,67.10^{-27}\,\text{kg}$ sont produits par une chambre d'ionisation. On néglige les forces de pesanteur. Ces protons pénètrent en S sans vitesse initiale dans un accélérateur linéaire où ils sont soumis à un champ électrique uniforme E créé par une tension $U = V_C - V_A$ (voir schéma ci-dessous), avant de pénétrer en O, avec une vitesse $\vect{V_O}$, dans un domaine limité par deux plans P et P' où règne un champ magnétique uniforme $\vect{B}$ orthogonal à $\vect{V_O}$. Tâche : Vous allez établir les lois qui gouvernent chacune des deux étapes du dispositif (accélération, puis déviation magnétique) afin de savoir prévoir, sans jamais voir le proton, l'endroit exact où il ira frapper l'écran, et à quelles conditions on peut, au contraire, l'empêcher d'y parvenir. 1) Dans l'accélérateur Problématique : Quelles relations permettent de décrire complètement, en fonction de U, d, m et de la charge élémentaire e, le mouvement d'un proton entre son entrée en S et sa sortie en O de l'accélérateur (accélération subie et loi horaire du mouvement) ? Chambre d'ionisation, accélérateur, zone de champ magnétique $\vect{B}$ et écran. 2) Dans le champ magnétique Problématique 1 : En reproduisant le schéma, comment caractériser le mouvement du proton dans la zone de champ magnétique : quelle force magnétique s'exerce sur lui en O (direction, sens, norme), quelle est la nature de son mouvement entre P et P', et quelle est l'expression du rayon de sa trajectoire en fonction de m, B, e et U ? Problématique 2 : La distance $\ell$ entre les plans P et P' étant négligeable devant L (distance entre O et l'écran), les protons sortent par P' et viennent heurter l'écran en M. Quelle est alors la nature de leur mouvement après la sortie du champ magnétique, quelle relation donne la déflexion O'M en fonction de L, $\ell$, B, e, U et m, et quelle largeur minimale $\ell'$ faudrait-il donner à $\ell$ pour empêcher les protons d'atteindre l'écran (c'est-à-dire pour qu'ils ressortent par le plan P) ? Données : e = 1,6.10 -19 C ; U = 10 kV ; B = 0,5 T ↑ Retour au sommaire Exercice 2 : Spectrographe de masse, isotopes du potassium Comment des géologues et des paléoanthropologues peuvent-ils affirmer qu'une roche volcanique, ou les sédiments qui l'entourent, ont 2 millions d'années ? Ils utilisent la méthode de datation potassium-argon, fondée sur la désintégration radioactive d'un isotope du potassium ; cette méthode a notamment permis de dater des sites majeurs de découverte des premiers hominidés en Afrique de l'Est. Une telle datation exige de connaître avec précision la composition isotopique du potassium, c'est-à-dire de savoir « peser » séparément des ions qui ne diffèrent que par quelques neutrons. On se propose de déterminer le nombre de masse de l'un des isotopes du potassium, élément chimique, mélange de deux types d'isotope : 39 K et x K. L'isotope 39 K est plus abondant. On utilise alors un spectrographe de masse constitué essentiellement de trois compartiments : dans le premier compartiment, les atomes de potassium sont ionisés en cations ( 39 K + et x K + ) ; dans le deuxième compartiment, les ions sont accélérés, leurs vitesses initiales étant négligeables ; et dans le troisième compartiment, les ions sont soumis à l'action d'un champ magnétique ; en fin de course, ils atteignent un écran luminescent. Tâche : En étudiant le fonctionnement de ce spectrographe de masse, vous allez déterminer le nombre de masse de l'isotope inconnu x K, c'est-à-dire reproduire, à votre échelle, le geste scientifique qui rend possible la datation des roches et des fossiles. Données : le mouvement des particules a lieu dans le vide ; le poids d'un ion est négligeable devant la force électrique et la force magnétique. e = 1,6.10 -19 C ; U = V A - V C = 1,0.10 3 V ; B = 100 mT ; m 0 = 1,67.10 -27 kg (masse d'un nucléon) ; m 1 = 39 m 0 (masse de 39 K + ) ; m 2 = x m 0 (masse de x K + ) 1) Accélération des ions Entre les plaques A et C, les ions sont accélérés par un champ électrique uniforme. Leur vitesse au point T 1 de la plaque A est supposée nulle. Problématique : En représentant sur le schéma la force électrique qui s'exerce sur un ion potassium situé en M, comment justifier que tous les ions, quel que soit leur isotope, parviennent en T 2 avec la même énergie cinétique ? Quelles sont alors les expressions des vitesses V 1 (pour 39 K + ) et V 2 (pour x K + ) en T 2 , en fonction de e, U, m 0 et du nombre de masse de chaque isotope ? Zones 1, 2 et 3 du dispositif, avec les collecteurs I 1 et I 2 . 2) Dans le champ magnétique (zone 3) À partir de T 2 , les ions pénètrent dans la zone 3 avec des vitesses perpendiculaires à la plaque C. Chaque type d'isotope effectue, dans le plan de la figure, un mouvement circulaire uniforme. Problématique : En un point N de l'une des trajectoires, comment représenter la vitesse d'un ion potassium et la force magnétique qui s'exerce sur lui ? Qu'en déduire, et comment compléter la figure, quant au sens du champ magnétique régnant dans la zone 3 ? 3) Rayon des trajectoires et application numérique Problématique : Quelle relation générale lie le rayon d'une trajectoire circulaire à la vitesse de l'ion, sa masse, sa charge et le champ B ? En déduire les expressions littérales des rayons R 1 (pour 39 K + , à mettre sous la forme $R_1 = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{78\,m_0 U}{e}}$) et R 2 (pour x K + ), puis calculer la valeur numérique de R 1 . 5) Points d'impact Les deux types d'isotopes rencontrent l'écran luminescent en deux points d'impact I 1 et I 2 ; le point d'impact I 1 étant plus lumineux. Problématique : Quel isotope correspond à chacun des points d'impact I 1 et I 2 , sachant que I 1 est le plus lumineux ? Quelle relation lie le rapport R 1 /R 2 aux nombres de masse des deux isotopes (à établir sous la forme $\dfrac{R_1}{R_2} = \sqrt{\dfrac{39}{x}}$) ? Sachant que la distance entre les points d'impact est d = 2,2 cm, quelle est la valeur du nombre de masse x de l'isotope x K + ? ↑ Retour au sommaire Exercice 3 : Sélecteur de vitesse et chambre de déviation On considère le dispositif expérimental schématisé ci-dessous, comportant 4 zones notées 1, 2, 3, 4. zone 1 : chambre d'accélération entre P 1 et P 2 . zone 2 : sélecteur de vitesse entre P 2 et P 3 . zone 3 : chambre de déviation de largeur $\ell$. zone 4 : région où il ne règne ni champ électrique ni champ magnétique. (E) est un écran placé à une distance D de la plaque P 3 , perpendiculairement à l'axe horizontal (x'x). Dans un laboratoire antidopage ou en toxicologie légale, on doit parfois identifier, parmi des milliards de particules, celles qui possèdent une vitesse bien précise avant de les analyser plus finement : c'est le rôle d'un sélecteur de vitesse (ou filtre de Wien), un composant clé des spectromètres de masse modernes. On étudie ici son principe sur un faisceau d'ions sodium Na + , plus simple à manipuler en classe, avant qu'ils ne rejoignent une chambre de déviation. C est une chambre d'ionisation qui émet des ions sodium Na + de masse m et de charge q. P 1 , P 2 , P 3 sont des plaques métalliques verticales percées de trous T 1 , T 2 , T 3 alignés sur l'axe horizontal x'x. A 1 et A 2 sont des plaques métalliques horizontales séparées par une distance d ; elles n'ont aucun contact électrique avec P 2 et P 3 . Le dispositif est placé dans le vide. On néglige le poids des ions devant les autres forces. Tâche : Vous allez montrer comment on sélectionne, dans un mélange d'ions de vitesses variées, uniquement ceux qui vont tout droit, puis comment on exploite ensuite leur déviation pour remonter au rapport charge/masse de l'ion étudié. Zones 1 à 4 : accélération, sélecteur de vitesse, chambre de déviation et écran. 1) Accélération Les ions Na + sortent du trou T 1 , avec une vitesse supposée nulle. Accélérés par une différence de potentiel U = V P1 - V P2 entre les plaques P 1 et P 2 , ils franchissent le trou T 2 avec une vitesse V 0 . Problématique : En s'appuyant sur le théorème de l'énergie cinétique entre T 1 et T 2 , quelle expression du rapport $\dfrac{q}{m}$ (charge massique) d'un ion Na + peut-on établir en fonction de U et V 0 ? 2) Sélecteur de vitesse (zone 2) Dans la zone 2, règnent simultanément un champ électrique uniforme de vecteur $\vect{E}$ vertical et un champ magnétique uniforme dont le vecteur $\vect{B}$ est perpendiculaire au plan de la figure. Problématique : Sur un schéma, comment représenter la force électrique $\vect{F_e}$ qui s'exerce sur un ion se trouvant dans la zone 2, puis la force magnétique $\vect{F_m}$ qui doit s'y ajouter pour que ce même ion suive une trajectoire rectiligne jusqu'au trou T 3 ? Qu'en déduire, justification à l'appui, quant au sens du champ magnétique $\vect{B}$ dans la zone 2 ? Quelle expression du rapport q/m peut-on alors établir en fonction de U, E et B, et quelle en est la valeur numérique ? Données : U = 3,9 kV ; E = 9.10 3 V.m -1 ; B = 5.10 -2 T. 3) Chambre de déviation (zone 3) Après le trou T 3 , les ions arrivent dans la zone 3 où règne le champ magnétique uniforme de vecteur $\vect{B'}$ représenté sur la figure. À la sortie de la zone 3, le vecteur vitesse d'un ion Na + fait un angle α faible avec l'axe (x'x). Problématique : Quelle est, justification à l'appui, la nature de la trajectoire suivie par un ion entre T 3 et l'écran ? En notant M le point d'impact des ions Na + sur l'écran et I le point d'intersection de l'axe (x'x) avec l'écran, quelle expression de la déflexion magnétique Y = IM peut-on établir en fonction de q, m, V 0 , B', $\ell$ et D, puis en fonction de q, m, U, B', $\ell$ et D ? Cette relation permet-elle une détermination expérimentale de $\dfrac{q}{m}$ ? Expliquer. ↑ Retour au sommaire Exercice 4 : Composition isotopique de l'oxygène naturel En analysant le rapport entre isotopes de l'oxygène ( 16 O, 17 O, 18 O) piégés dans les glaces polaires ou dans des sédiments marins vieux de centaines de milliers d'années, les climatologues reconstituent les températures passées de la Terre et éclairent ainsi les débats actuels sur le changement climatique. Cette prouesse repose sur une question simple en apparence : comment distinguer, puis compter séparément, des atomes d'oxygène qui ne diffèrent que par leur nombre de neutrons ? Pour déterminer la composition isotopique de l'oxygène naturel, on utilise le spectrographe de masse schématisé ci-dessous. On ionise les atomes d'oxygène en ions oxydes (O 2- ) dans la première chambre, on les accélère dans la deuxième chambre dans laquelle est appliquée une tension U p1p2 =|U|=1000 V et on les sépare dans la troisième chambre où règne un champ magnétique uniforme $\vect{B}$. Tâche : Vous allez déterminer, à partir des mesures faites sur l'écran du spectrographe, les trois isotopes de l'oxygène naturel, leur abondance respective et la masse molaire qui en résulte, c'est-à-dire reproduire le principe même sur lequel s'appuient les études du climat passé de la Terre. Problématique préliminaire : Quelle est l'expression de la vitesse d'un ion lorsqu'il passe par le trou O ? Trous O et O', champ $\vect{B}$ et points lumineux M 1 , M 2 , M 3 . Problématique : Pour une orientation donnée de $\vect{B}$, on observe trois points lumineux dans la zone de réception, le plus proche de O étant le plus lumineux et le plus éloigné venant en second. Comment interpréter ces différences de luminosité, et quel doit être le sens de $\vect{B}$ pour que ces trois points puissent effectivement être observés ? Problématique : Les points lumineux étant notés M 1 , M 2 et M 3 , avec R 1 =4,97 cm ; R 3 =5,27 cm et M 2 M 3 =0,3 cm, quelles relations permettent d'exprimer les rayons R 1 et R 3 en fonction de e, B, U et du nombre de masse de chaque ion (A 1 ou A 3 ), ainsi que le rayon R 2 en fonction de A 2 , A 3 et R 3 ? Qu'en déduire sur le nombre de masse de chaque ion, et comment s'écrit la représentation de chacun des isotopes de l'oxygène O ? Problématique : En reliant chaque point lumineux au sol par un fil conducteur muni d'un ampèremètre (on fabrique ainsi des compteurs électriques), on mesure des intensités I 1 , I 2 et I 3 telles que I 1 =4,99 I 3 et I 2 =0,2 I 3 . Que peut-on en déduire quant au pourcentage isotopique de chaque isotope, et quelle masse molaire de l'oxygène naturel en résulte ? Problématique : Quelles caractéristiques (direction, sens, intensité) doit avoir le champ $\vect{E}$ à superposer au champ $\vect{B}$ dans la troisième chambre pour que seuls les ions de masse m 2 puissent traverser le trou O' ? Que deviennent alors les trajectoires des autres ions ? Données : B=0,26 T ; V A =0 m/s ; 1u=1,66.10 -27 kg. ↑ Retour au sommaire Exercice 5 : Spectrographe de masse, isotopes du cuivre En archéométallurgie, l'analyse isotopique précise du cuivre extrait d'un objet ancien (bijou, outil, pièce de monnaie) permet de retracer la mine dont provient le métal et, ainsi, de reconstituer d'anciennes routes commerciales à travers un continent. Le spectrographe de masse est une technique analytique essentielle et polyvalente avec des applications vastes et diversifiées. Son importance réside dans sa capacité à fournir des informations précises et détaillées sur la masse et la structure des composés chimiques, ce qui est crucial pour la recherche scientifique, le diagnostic médical, l'analyse environnementale, la sécurité alimentaire, et bien d'autres domaines. On considère un dispositif d'analyse de particules, constitué de trois parties : une chambre d'accélération, un filtre de vitesse et une chambre de déviation. (Figure 2) Tâche : En étudiant chacune des trois parties du dispositif, vous allez déterminer le nombre de masse de l'isotope inconnu x Cu et la proportion de chaque isotope dans le cuivre naturel : la même démarche que celle utilisée pour authentifier ou dater un objet métallique ancien. 1) Accélération des ions Des ions positifs isotopes du cuivre 63 Cu 2+ et x Cu 2+ de même charge q = 2e, de masse respective m = 63u et m' = xu, émis à partir du point O 1 avec une vitesse initiale négligeable, sont accélérés entre O 1 et O 2 par la tension U 0 existant entre les plaques P 1 et P 2 telle que |U 0 | = |U P1P2 | = 5.10 3 V. Ils se déplacent dans le vide suivant la direction horizontale de O 1 vers O 2 . On négligera le poids des ions devant les autres forces. Données : e = 1,6.10 -19 C et u = 1,67.10 -27 kg Problématique : Quel doit être le signe de la tension U P1P2 pour que les ions soient effectivement accélérés de O 1 vers O 2 ? Quelle est alors la vitesse v de l'isotope 63 Cu 2+ en O 2 , et quelle relation lie les vitesses v et v' des deux isotopes 63 Cu 2+ et x Cu 2+ à leurs masses respectives m et m' ? Sachant que $\dfrac{v}{v'} = 1{,}016$, quelle est la valeur entière x du nombre de masse de l'ion x Cu 2+ ? 2) Filtre de vitesse Arrivés en O 2 , les ions pénètrent dans un filtre de vitesse constitué par : deux plaques horizontales P et Q distantes de d = 20 cm entre lesquelles on établit une différence de potentiel U = V P - V Q = 1,50.10 3 V créant un champ électrique $\vect{E}$ ; un dispositif adéquat crée dans l'espace situé entre les deux plaques un champ magnétique $\vect{B}$ perpendiculaire aux vitesses $\vect{v}$ et $\vect{v'}$ ainsi qu'au champ électrique $\vect{E}$. Problématique : Quel doit être le sens du champ magnétique $\vect{B}$ pour que les ions 63 Cu 2+ , arrivant en O 2 , traversent le filtre par un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v ? Quelle est l'expression de l'intensité B en fonction de v, U et d, et sa valeur numérique ? Dans quel sens sont alors déviés les ions x Cu 2+ , et quelle valeur B' du champ magnétique faudrait-il appliquer pour qu'ils traversent le dispositif sans subir de déviation ? 3) Spectrographe de masse En faisant varier la valeur du champ magnétique B dans le filtre de vitesse, on peut faire passer par le point O l'un ou l'autre des isotopes. Les ions pénètrent alors dans la chambre de déviation où règne un champ magnétique $\vect{B_O}$ d'intensité B 0 = 0,5 T. C et C' sont les points d'impact respectifs des ions 63 Cu 2+ et x Cu 2+ (fig. 2). Figure 2 : Chambre d'accélération, filtre de vitesse et spectrographe de masse. Problématique : Quelle est l'expression du rayon R de la trajectoire décrite par l'ion 63 Cu 2+ dans la chambre de déviation, et sa valeur numérique ? Sachant qu'un dispositif placé aux collecteurs C et C' mesure des intensités de courant I et I' (proportionnelles aux nombres d'ions N et N' arrivant par seconde) telles que $I = \dfrac{7}{3} I'$, quels sont les pourcentages respectifs des ions 63 Cu 2+ et x Cu 2+ dans le cuivre naturel ? ↑ Retour au sommaire Exercice 6 : Le cyclotron Dans de nombreux hôpitaux, un cyclotron de la taille d'une pièce fonctionne chaque jour pour produire les isotopes radioactifs utilisés en imagerie médicale (scintigraphie, TEP) ou pour traiter certains cancers par protonthérapie. Son principe : accélérer une particule chargée par petits bonds successifs, grâce à un champ électrique alterné, tout en la maintenant sur une trajectoire en spirale grâce à un champ magnétique, jusqu'à lui donner une énergie considérable en un espace très réduit. Un cyclotron est un dispositif constitué de deux demi-cylindres D 1 et D 2 , appelés « dees », séparés par une distance très faible d devant leur diamètre. Le tout est placé dans le vide. Un champ magnétique $\vect{B}$ perpendiculaire au plan de la figure est créé dans D 1 et D 2 . Entre les « dees » et sur la distance d agit un champ électrique uniforme $\vect{E}$. Ce champ $\vect{E}$ est constamment nul à l'intérieur des deux « dees ». On suppose que la d.d.p U entre D 1 et D 2 reste constante. Tâche : Vous allez établir, étape par étape, comment un proton gagne de la vitesse à chaque passage entre les « dees », et retrouver ainsi le principe qui permet à un cyclotron de communiquer une très grande énergie à une particule sans jamais lui appliquer une tension élevée d'un seul coup. Données : m = 1,67.10 -27 kg ; e = 1,6.10 -19 C ; d = 1 cm ; U = 4000 V. Les « dees » D 1 et D 2 du cyclotron, la source S et les champs $\vect{B}$ et $\vect{E}$. Problématique : Au voisinage immédiat de D 2 , une source S émet des protons avec une vitesse initiale négligeable. Quelle est la nature du mouvement du proton entre D 2 et D 1 , quelle est l'expression de sa vitesse V 1 à l'entrée de D 1 en fonction de e, m et U, et quelle est sa valeur numérique ? Problématique : Le proton pénètre dans D 1 avec une vitesse $\vect{V_1}$ perpendiculaire à $\vect{B}$. Comment montrer que son mouvement y est circulaire uniforme, quelle est l'expression du rayon R 1 du demi-cercle décrit en fonction de e, m, B et U, et quelle est l'expression littérale du temps de transit τ correspondant ? Ce temps dépend-il de la vitesse du proton, donc de la présence du champ électrique accélérateur ? Calculer sa valeur pour B = 1 T. Problématique : Au moment précis où le proton quitte D 1 , on inverse le sens de $\vect{E}$ et le proton pénètre dans D 2 avec une vitesse V 2 . Quelles sont les expressions de V 2 et du rayon R 2 de la trajectoire décrite dans D 2 , ainsi que du temps de transit correspondant ? Comment ce dernier se compare-t-il à τ ? Problématique : En poursuivant ce processus d'inversions successives du sens de $\vect{E}$ à chaque passage d'un « dee » à l'autre, le proton (toujours accéléré par la même tension U) décrit des demi-cercles de rayons croissants R 1 , R 2 , R 3 , … Quelle relation lie le rayon R n de la n-ième trajectoire au rayon R 1 de la première ? Pour quelle valeur de n obtient-on R n = 0,14 m, et quelle est alors la vitesse V n correspondante du proton ? Quelle d.d.p. constante unique aurait permis de donner directement cette vitesse à un proton initialement émis sans vitesse initiale ? Commenter le résultat obtenu. ↑ Retour au sommaire Série d'exercices : Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme (Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de l'Enseignement secondaire)