TD Oscillations mécaniques libres

TERMINALE C / D MÉCANIQUE TD Oscillations mécaniques libres Enseignant : Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques Classe de Terminale C/D Sommaire Exercice 1 Oscillateur masse-ressort horizontal Exercice 2 Pendule élastique horizontal Exercice 3 Ressort vertical Exercice 4 Pendule élastique (Partie A et B) Exercice 5 (Partie I et Partie II) Exercice 6 (A et B) Oscillations amorties Exercice 1 Un oscillateur mécanique est constitué d’un ressort à spires non jointives de raideur $k=18\,\text{N·m}^{-1}$, d’axe horizontal, dont une extrémité est fixée à un solide $S$ de masse $m=500\,\text{g}$ assimilable à un solide ponctuel. L’autre extrémité du ressort est fixe. Le solide $S$ peut se déplacer sans frottement sur un plan horizontal, le long de l’axe du ressort. On écarte le solide de sa position d’équilibre de $x=2\,\text{cm}$, puis on le libère sans vitesse initiale. Schématiser l’oscillateur à un instant $t$ quelconque ; faire l’inventaire des forces qui s’exercent sur le solide à cet instant $t$ puis représenter ces forces. Par application de la deuxième loi de Newton : Établir l’équation différentielle qui régit le mouvement du solide ponctuel $S$. Vérifier que $x(t)=X_{m}\cos(\omega_{0}t+\varphi)$ est solution de cette équation différentielle. Rappeler la signification des paramètres de $x(t)$ en donnant également leurs unités dans le système international. Donner l’expression numérique de $x(t)$. Puis en déduire celles de $\dot{x}(t)$ et $\ddot{x}(t)$. Déterminer la période propre $T_{0}$ et la fréquence propre $N_{0}$ des oscillations mécaniques. Déterminer l’énergie mécanique $E$ de cet oscillateur à l’instant $t$ en fonction de $k$, $m$, $x$ et $\dot{x}$ (état de référence des énergies potentielles élastiques choisi pour le ressort détendu). Montrer que cette énergie mécanique $E$ est constante. Exprimer sa valeur en fonction de $m$, $\omega_{0}$ et $X_{m}$ puis en fonction de $k$ et $X_{m}$. Représenter sur le même graphe les allures des énergies ($E_{c}$ ; $E_{p}$ et $E$) en fonction du temps. Par la méthode énergétique, établir l’équation différentielle du mouvement. On écarte maintenant le solide $S$ de sa position d’équilibre de $x_{0}=2\,\text{cm}$. Puis on le libère en le lançant vers les abscisses positives avec une vitesse $\vec{V}$ de norme $V=0{,}207\,\text{m/s}$. Établir l’équation différentielle du mouvement à un instant $t$ puis l’expression numérique de la position du centre d’inertie $G$ de $S$, sous la forme $x(t)=X_{m}\cos(\omega_{0}t+\varphi)$. L’instant du début des oscillations est pris comme origine des temps. ↑ Retour au sommaire Exercice 2 On dispose d’un pendule élastique horizontal constitué d’un solide $(S)$ de masse $m$ pouvant coulisser, sans frottement, sur une tige horizontale $(T)$ et d’un ressort, à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur $k$. L’origine $O$ des abscisses est confondue avec le centre de gravité $(G)$ du solide $(S)$ lorsqu’il est en équilibre (voir figure 1). Figure 1 On comprime le ressort de $2\,\text{cm}$, puis on communique au solide une vitesse initiale $\vec{V}_{0}$ de norme $V_{0}=0{,}35\,\text{m·s}^{-1}$ à l’instant de date $t=0\,\text{s}$. Schématiser l’oscillateur à un instant $t$ quelconque après le point $O$ ; puis représenter toutes les forces extérieures qui s’exercent sur le solide $(S)$ à cet instant $t$. Par application du théorème du centre d’inertie, établir l’équation différentielle vérifiée par $x(t)$. Un dispositif approprié permet de tracer la courbe de l’évolution au cours du temps de l’élongation $x(t)$ de $G$ (figure 2 ci-dessous). Figure 2 À partir de la courbe, dire dans quel sens le solide $(S)$ se déplace-t-il juste après l’instant $t=0\,\text{s}$. Sachant que $x(t)=X_{m}\sin(\omega_{0}t+\varphi)$, déduire l’expression numérique de $x(t)$. Sachant que l’énergie totale du système est $E=9{,}6\times 10^{-3}\,\text{J}$, déterminer la constante de raideur $k$ du ressort et la masse $m$ du solide $(S)$. Dessiner sur un même graphe les allures des courbes des énergies (potentielle élastique, cinétique et mécanique) du système en fonction du temps, en respectant les conditions initiales de l’oscillateur. ↑ Retour au sommaire Exercice 3 Ressort vertical On prendra $g=10\,\text{m·s}^{-2}$. Un oscillateur harmonique est constitué d’un ressort $R$ de masse négligeable suspendu en un point fixe $A$ et auquel est accroché un solide $S$ de masse $m=200\,\text{g}$. La longueur à vide du ressort est $l_{0}=20\,\text{cm}$. On accroche le solide $S$, le ressort s’allonge de $8\,\text{cm}$. Établir la condition d’équilibre, puis calculer la constante de raideur $k$ du ressort. On tire le solide $S$ verticalement vers le bas, en donnant un allongement supplémentaire de $X_{0}=1\,\text{cm}$ au ressort, puis on lâche le solide sans vitesse initiale. Il effectue alors des oscillations non amorties de période $T_{0}$. Établir l’équation différentielle du mouvement. Déterminer l’équation horaire $x=f(t)$ en prenant comme origine des temps l’instant du lâcher et comme origine $O$ des déplacements la position d’équilibre du ressort avec solide accroché. Axe $Ox$ vertical orienté positivement vers le bas. Calculer la période propre $T_{0}$ des oscillations. ↑ Retour au sommaire Exercice 4 Pendule élastique horizontal Le pendule élastique horizontal de la figure 1 est constitué d’un solide $(S)$ de masse $m=0{,}2\,\text{kg}$ soudé à l’une des extrémités d’un ressort $(R)$ à spires non jointives de masse négligeable et de constante de raideur $K$, l’autre extrémité est attachée à un support fixe. À l’équilibre le centre d’inertie $(G)$ du solide $(S)$ coïncide avec l’origine $O$ d’un repère horizontal $(O,\vec{\imath})$. Figure 1 Partie A À partir du point $O$, on écarte le solide $(S)$ vers un point $A$ d’abscisse $x_{A}$ et à la date $t=0\,\text{s}$, on l’abandonne à lui-même sans vitesse initiale. Au cours de son mouvement, le solide $(S)$ se déplace sans frottement et son centre d’inertie $(G)$ est repéré par l’élongation $OG=x(t)$. Un système d’acquisition enregistre les variations de l’élongation $x$ au cours du temps (figure 2). Figure 2 En utilisant le graphe, écrire la loi horaire $x=f(t)$ du mouvement du solide. Déduire l’équation différentielle du mouvement ainsi que la constante de raideur $K$ du ressort. L’énergie cinétique du solide varie au cours du temps selon une fonction sinusoïdale de période $T$. Établir l’expression de $E_{c}$ en fonction du temps. Donner la valeur de $T$. L’énergie mécanique du système {solide, ressort} est $E$. Montrer que cette énergie est constante. Comment apparaît cette énergie aux instants $t=0\,\text{s}$ ; $t=\dfrac{\pi}{16}\,\text{s}$ et $t=\dfrac{\pi}{8}\,\text{s}$. Partie B L’oscillateur est maintenant soumis à des forces de frottements visqueux équivalentes à une force unique $\vec{f}=-h\vec{v}$, avec $h$ une constante positive. Établir l’équation différentielle vérifiée par l’élongation $x$ de $(G)$. Montrer que l’énergie totale du système $\{$solide, ressort$\}$ diminue au cours du temps. À l’aide d’un dispositif approprié, on a enregistré le diagramme d’espace du mouvement du solide ; le résultat est donné par le graphe de la figure 3. Figure 3 Quel est le nom du régime des oscillations ? Calculer ce travail entre les instants $t_{1}=0\,\text{s}$ et $t_{2}=\dfrac{7\pi}{8}\,\text{s}$. ↑ Retour au sommaire Exercice 5 Un pendule élastique horizontal est formé d’un ressort de raideur $K=20\,\text{N·m}^{-1}$ et d’un solide de masse $m$ ; à l’instant $t=0$, le centre d’inertie $G$ du solide est lancé à partir de la position $x_{0}=2\,\text{cm}$ avec la vitesse initiale $v_{0}=20\,\text{cm·s}^{-1}$. Partie I — les frottements sont négligeables Établir l’équation différentielle en fonction de l’élongation $x$ du mouvement du centre d’inertie $G$. Donner la solution générale de cette équation différentielle et en déduire l’expression de la période propre de l’oscillateur. La durée de 20 oscillations est $\Delta t=12{,}56\,\text{s}$. Montrer que la masse du solide vaut $m=200\,\text{g}$. Calculer la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur à l’instant du lancement. En déduire l’amplitude $X_{m}$ des oscillations ainsi que la vitesse de passage par la position d’équilibre. Partie II — les frottements ne sont plus négligeables Les frottements sont représentés par une force $\vec{f}=-h\vec{V}$, où $h$ désigne le coefficient de frottement du milieu, et $V$ la mesure algébrique de la vitesse du centre d’inertie du solide. La figure 2 donne l’enregistrement du mouvement du centre d’inertie du solide. Figure 2 Quelle est la nature des oscillations du centre d’inertie $G$ ? Justifier. Comment appelle-t-on le régime des oscillations du pendule ? Déterminer la pseudopériode $T$. L’équation différentielle régissant le mouvement du solide est $$ \dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + 10^{2}\,x = 0 $$ Déduire la valeur de la pulsation propre et celle du coefficient de frottement $h$. Montrer que $\dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=-hv^{2}$, où $E$ est l’énergie mécanique du système $S=\{\text{solide}+\text{ressort}\}$. Conclure quant à la conservation de l’énergie mécanique par le système $S$. ↑ Retour au sommaire Exercice 6 A/ Les frottements sont supposés négligeables Un pendule élastique horizontal est constitué d’un ressort $(R)$ de raideur $k=10\,\text{N·m}^{-1}$ et de masse négligeable, enfilé à travers une tige, à l’extrémité duquel est soudé un solide ponctuel $(S)$ de masse $m=400\,\text{g}$ pouvant coulisser sans frottement. À l’origine des dates, on écarte le solide $(S)$ de $x_{0}$ à partir de sa position d’équilibre dans le sens positif puis on l’abandonne sans vitesse. À un instant $t$ quelconque, au cours des oscillations, l’élongation du solide est $x$ et sa vitesse est $v$. Figure 1 Établir l’équation différentielle régissant les oscillations du solide $(S)$ et déduire la nature de son mouvement. Calculer la période $T_{0}$ des oscillations. Établir l’expression de l’énergie potentielle élastique $$ E_{Pe}=\dfrac{1}{4}kX_{\max}^{2}\bigl[1+\cos(2\omega_{0}t+2\varphi_{x})\bigr] $$ sachant que $x(t)=X_{\max}\cos(\omega_{0}t+\varphi_{x})$. On donne la courbe de $E_{Pe}$ en fonction du temps ($E_{Pe,\max}=0{,}5\times 10^{-3}\,\text{J}$, première demi-période à $\pi/10\,\text{s}$). Figure 2 Comparer la période $T$ des variations de $E_{Pe}$ et la période $T_{0}$ des oscillations. Déterminer l’amplitude $X_{\max}$ des oscillations et établir l’expression numérique de l’équation horaire du mouvement. B/ Les frottements ne sont plus négligeables Le solide est soumis à des forces de frottement de type visqueux $\vec{f}=-h\vec{V}$ avec $h$ une constante positive. L’enregistrement de l’élongation du solide ponctuel $(S)$ en fonction du temps a donné le graphe ci-dessous. Justifier que l’oscillateur subit une force de frottement. Montrer que l’énergie de l’oscillateur diminue au cours du temps. Calculer la variation de l’énergie mécanique de l’oscillateur entre les instants $t=0$ et $t=2T$. On a porté dans un ordre quelconque et à la même échelle 4 enregistrements de $x(t)$, avec différents coefficients de frottement $h_{1}=0{,}16$ ; $h_{2}=0{,}4$ ; $h_{3}=3{,}2$ ; $h_{4}=4$. Compléter le tableau, en précisant à quelle valeur $h_{i}$ correspond au retour le plus rapide du solide $(S)$ vers son état d’équilibre. Enregistrement $h_{i}$ Nature du mouvement Enregistrement 1 Enregistrement 2 Enregistrement 3 Enregistrement 4 ↑ Retour au sommaire TD Oscillations mécaniques libres Terminale C/D Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques