TD Cinématique du point matériel

TERMINALE C / D MÉCANIQUE TD Cinématique du point matériel Enseignant : Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques Classe de Terminale C/D Sommaire Exercice n°1 Équations paramétriques Exercice n°2 Automobile et motocyclette Exercice n°3 Graphes x(t) et v(t) Exercice n°4 Mouvement circulaire Exercice n°5 Proton entre deux plaques Exercice n°6 Mouvement rectiligne sinusoïdal Exercice n°1 Les équations paramétriques du mouvement d’un point mobile $M$ dans l’espace sont : $$\overrightarrow{OM}\begin{cases} x = 2t - 3 \\ y = 4t^{2} - 16t + 12 \\ z = 0 \end{cases} \quad\text{avec}\quad 0 \le t \le 5\,\text{s}$$ Donner l’équation de la trajectoire ; préciser sa nature. Déterminer pour ce mobile les coordonnées du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération. Calculer la vitesse moyenne ainsi que l’accélération moyenne entre les dates $t=0\,\text{s}$ et $t=5\,\text{s}$. Calculer la valeur de la vitesse : À la date $t=0\,\text{s}$ À la position $x=1\,\text{m}$ Lorsqu’il passe au plan $y=0$ Sur quel intervalle de dates le mouvement est-il accéléré ? ↑ Retour au sommaire Exercice n°2 Sur une autoroute d’axe $(x'Ox)$ et de repère $(O,\vec{\imath})$, une automobile en déplacement décrit une trajectoire rectiligne. À l’instant $t_{0}=0\,\text{s}$, l’automobile démarre d’un point $P_{0}$ d’abscisse $x_{0}$ différent de zéro. À l’instant $t_{1}=4\,\text{s}$, elle passe par le point $P_{1}$ d’abscisse $x_{1}=70\,\text{m}$ à la vitesse $v_{1}=10\,\text{m·s}^{-1}$. L’automobile arrive ensuite au point $P_{2}$ d’abscisse $x_{2}=114{,}8\,\text{m}$ à la vitesse $v_{2}=18\,\text{m·s}^{-1}$. Sachant que le mouvement de l’automobile est rectiligne uniformément varié, calculer son accélération. Déterminer la valeur de l’abscisse $x_{0}$ du point $P_{0}$ de départ. Écrire l’équation horaire du mouvement de l’automobile. À quel instant $t_{2}$ l’automobile passe-t-elle par le point $P_{2}$ ? À la date $t=1\,\text{s}$, une motocyclette se déplaçant sur la même autoroute à la vitesse constante $v=20\,\text{m·s}^{-1}$ passe par le point $P'$ d’abscisse $x=10\,\text{m}$. Montrer qu’à l’instant $t=0$, la motocyclette se trouvait au point $P$ d’abscisse $x=-10\,\text{m}$. En déduire l’équation horaire de son mouvement dans le repère $(O,\vec{\imath})$. Déterminer les dates des dépassements. Déterminer l’abscisse du deuxième dépassement. ↑ Retour au sommaire Exercice n°3 Un mobile $A$ est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié. Les graphes de $x(t)$ et $v(t)$ sont donnés ci-contre. Graphes de $x(t)$ et $v(t)$ du mobile A. Déterminer l’accélération du mobile. En déduire l’équation horaire du mouvement du mobile. Quelle est la distance parcourue par le mobile pendant les 20 premières secondes ? ↑ Retour au sommaire Exercice n°4 La position du mobile $M$ se déplaçant dans un plan muni d’un repère $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ est déterminée à chaque instant par les équations horaires suivantes : $$\overrightarrow{OM}\begin{cases} x = 2\cos(2\pi t + \varphi) \\ y = 2\sin(2\pi t + \varphi) \end{cases} \quad x\text{ et }y\text{ en m ; }t\text{ en s ; }\varphi\text{ en rad.}$$ Déterminer $\varphi$ sachant qu’à $t=0$, le mobile se trouve au point $M_{0}$ de coordonnées $x_{0}=0$ et $y_{0}=2\,\text{m}$. Montrer que la trajectoire du mobile est un cercle. Déterminer les coordonnées du centre $C$ et le rayon $R$ du cercle. Déterminer la norme de la vitesse du point mobile. Conclure. Montrer que les vecteurs accélération et position sont colinéaires. En déduire le sens du vecteur accélération. ↑ Retour au sommaire Exercice n°5 Un proton est libéré sans vitesse initiale à partir de $M_{0}$ situé au milieu de la plaque de longueur $d$ à l’instant $t=0$. Schéma du dispositif : proton libéré en $M_0$, accélérations $\vec{a}_1$ et $\vec{a}_2$, trou $S$. Exprimer en fonction de $a_{1}$ et $a_{2}$ les coordonnées du vecteur accélération du proton sachant que : $$\vec{a} = \vec{a}_{1} + \vec{a}_{2}$$ En déduire les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ ainsi que l’équation cartésienne de la trajectoire du proton. Quelle est sa nature ? Quelle doit être la valeur de $a_{2}$ pour que le proton sorte par le trou $S$ d’abscisse $d'$ ? Données : $a_{1}=10\,\text{m·s}^{-2}$ ; $d=10\,\text{m}$ ; $d'=20\,\text{m}$. ↑ Retour au sommaire Exercice n°6 Le solide est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal sur un axe $x'Ox$. La variation de sa position à tout instant est représentée par le diagramme ci-dessous. Diagramme de la position $x(t)$ du solide (amplitude $20\,\text{cm}$). En déduire la pulsation $\omega$ et la vitesse maximale $V_{m}$ du mobile. Déterminer les valeurs de l’abscisse et de l’accélération du mobile à la date $t=0{,}2\,\text{s}$. Établir l’équation horaire $x(t)$. Le mouvement est-il accéléré ou décéléré à $t=0{,}2\,\text{s}$ ? Calculer graphiquement puis par calcul la date (après $t=0$) de passage pour la première fois en $x=-10\,\text{cm}$ en allant dans le sens négatif. Déterminer la distance parcourue par le solide entre $t=0{,}1\,\text{s}$ et $t=0{,}5\,\text{s}$. ↑ Retour au sommaire TD Cinématique du point matériel Terminale C/D Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques