TD Gravitation universelle

TERMINALE C / D MÉCANIQUE TD Gravitation universelle Enseignant : Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques Classe de Terminale C/D Sommaire Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Satellites d’Uranus (tableau + courbe) Exercice 4 Titan et Saturne Exercice 5 Exercice 1 Données : $G = 6{,}67\times 10^{-11}\,\text{S.I}$ ; $M = 6\times 10^{24}\,\text{kg}$ ; $R = 6400\,\text{km}$ ; $d = 1{,}5\times 10^{8}\,\text{km}$. Deux corps ponctuels $A$ et $B$, de masses $m$ et $m'$, séparés par une distance $d$, s’attirent selon la loi de la gravitation universelle. Rappeler l’expression de l’intensité des forces d’interaction gravitationnelle entre $A$ et $B$. Le Soleil exerce sur la Terre une force de gravitation d’intensité $F = 3{,}5\times 10^{22}\,\text{N}$. Déterminer la masse du Soleil. Un satellite de la Terre effectue un mouvement circulaire uniforme à l’altitude $h_{1}=400\,\text{km}$. Préciser le référentiel d’étude. Exprimer puis calculer la vitesse linéaire $V$. Établir les expressions de $T$ et $\omega$. Application numérique. Un satellite géostationnaire a une période de $86400\,\text{s}$. Justifier cette valeur. Exprimer puis calculer l’altitude $h$ d’un satellite géostationnaire. ↑ Retour au sommaire Exercice 2 Données : $R_{T}=6370\,\text{km}$ ; $M_{T}=5{,}97\times 10^{24}\,\text{kg}$ ; $K=6{,}67\times 10^{-11}$ ; $r=20000\,\text{km}$ ; $T_{T}=86164\,\text{s}$. Satellite $S$ en orbite circulaire dans le plan équatorial, déplacement Ouest → Est. Donner les caractéristiques de la force de gravitation exercée par la Terre sur $S$. Faire un schéma. Donner l’expression du champ de gravitation au point où se trouve $S$. Représenter ce vecteur sur le schéma. Montrer que le mouvement de $S$ est circulaire uniforme. Établir l’expression de la vitesse $V$ en fonction de $K$, $r$ et $M_{T}$, puis calculer sa valeur. Ce satellite est-il géostationnaire ? Justifier. ↑ Retour au sommaire Exercice 3 Satellites d’Uranus (tableau + courbe $V^{2}=f(1/r)$) Satellite Rayon de l’orbite $r$ ($10^{6}\,\text{m}$) Période de révolution $T$ (jour) MIRANDA 129,8 1,4 ARIEL 191,2 2,52 UMBRIEL 266,0 4,14 TITANIA 435,8 8,71 OBERON 582,6 13,5 Répartition de masse à symétrie sphérique. Référentiel « Uranocentrique » galiléen. $G=6{,}67\times 10^{-11}\,\text{SI}$ ; $1\,\text{jour}=86400\,\text{s}$. Courbe $V^{2} = f(1/r)$ des satellites d’Uranus. Détermination de la vitesse d’un satellite d’Uranus (mouvement circulaire). Rappeler la définition d’un référentiel géocentrique. Définir par analogie le référentiel « Uranocentrique ». Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Établir l’expression de la vitesse $V$ en fonction de $r$ et $T$. Application numérique pour Umbriel. Détermination de la masse $M$ d’Uranus. Méthode graphique : la courbe de la fonction $V^{2} = f(1/r)$ est représentée ci-dessus. Établir l’expression de $V$ en fonction de $G$, $M$ et $r$. En vous aidant de la courbe, déterminer la masse d’Uranus (expliquer le mode d’exploitation de la courbe). ↑ Retour au sommaire Exercice 4 Titan et Saturne En 1997 a été effectuée une mission spatiale destinée à l’exploration de Saturne. Huit ans plus tard la sonde s’est posée sur Titan, le plus gros satellite de Saturne. On s’intéresse au mouvement d’un satellite ponctuel de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ autour de Saturne (référentiel lié à Saturne, galiléen). Saturne est assimilée à un corps sphérique de masse $M$ à répartition sphérique de masse. Étude du mouvement. Montrer que le mouvement est uniforme. Exprimer la vitesse et la période en fonction de $G$, $M$ et $r$. Énergies. Établir l’expression de l’énergie cinétique $E_{c}$. Établir l’expression de l’énergie potentielle $E_{p}$ (référence à l’infini). Déterminer l’énergie mécanique totale $E_{m}$ en fonction de $K$, $M$, $m$ et $r$. La calculer pour Titan de masse $m=1{,}35\times 10^{23}\,\text{kg}$. ↑ Retour au sommaire Exercice 5 Données : $K=6{,}67\times 10^{-11}$ ; $R_{T}=6400\,\text{km}$ ; $M=6\times 10^{24}\,\text{kg}$ ; jour sidéral $T_{T}=86164\,\text{s}$. Caractéristiques de la force de gravitation subie par un point matériel de masse $m$ à la distance $r>R_{T}$. Faire un schéma. Caractéristiques du champ de gravitation. Exprimer sa norme $g$ en fonction de $g_{0}$. Représenter le vecteur. Satellite en orbite circulaire de rayon $r$. Montrer que le mouvement est uniforme. Exprimer $V$ et $T$ en fonction de $K$, $M$ et $r$. En déduire la 3ᵉ loi de Kepler. A.N. Navette à $250\,\text{km}$ d’altitude : calculer $V$ et $T$. Ordre de grandeur de la distance Terre-Lune (période Lune = 28 jours). $E_{p}=-KMm/r$. Référence de l’énergie potentielle ? Expression de $E_{m}$. Expression de $E_{c}$. Comparer $E_{c}$ et $E_{m}$ ; $E_{p}$ et $E_{m}$. Effet des frottements atmosphériques sur $E_{m}$, $r$ et $v$. Vitesse de libération $v_{\ell}$ depuis le sol terrestre. ↑ Retour au sommaire TD Gravitation universelle Terminale C/D Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques