Applications sur les rails de Laplace-Énoncés

ÉLECTROMAGNÉTISME Applications sur les rails de Laplace : Énoncés Enseignant : Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques Classe de CPGE / MPSI / MP Sommaire Problème 1 : Rails reliés par un générateur Problème 2 : Rails verticaux sans générateur Problème 3 : Rails verticaux avec générateur Problème 1 : Rails reliés par un générateur Une tige $MN$ de longueur $\ell=0{,}25\,\text{m}$ et de masse $m=20\,\text{g}$, placée perpendiculairement aux rails parallèles $(AB)$ et $(A'B')$ contenus dans le plan horizontal, pénètre dans une région où règne un champ magnétique $\vect{B}$ d'intensité $B=0{,}5\,\text{T}$. À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur $K$. Le rail est alimenté par un générateur de f.é.m. $E=2\,\text{V}$ et de résistance interne $R=0{,}4\,\Omega$. Aucun opérateur extérieur n'agit plus sur la tige qui est initialement immobile ; toutefois, on constate qu'à la fermeture de l'interrupteur $K$, la tige acquiert un mouvement de translation parallèle aux rails. Schéma du dispositif (rails de Laplace) Expliquer la mise en mouvement de la tige ainsi que l'apparition d'un phénomène d'induction. Prévoir qualitativement le rôle de la f.é.m. induite. Donner l'expression du champ électromoteur $\vect{E}_{m}$ et préciser son signe. Déterminer l'expression de la f.é.m. induite $e$ en fonction de $B$, $v$ et $\ell$. Exprimer, en fonction de $R$, $E$, $v$, $B$ et $\ell$, l'intensité du courant et l'expression vectorielle de la force de Laplace. Établir l'équation différentielle liant la vitesse $v$ de la tige à l'instant $t>0$. Déterminer les lois $v(t)$ et $i(t)$ en mettant en évidence une durée $\tau$ caractéristique de l'évolution. Déterminer les expressions de la vitesse limite $v_{L}$ et de l'intensité $I_{0}$ du courant à l'instant $t=0$. Faire l'application numérique. Effectuer le bilan énergétique du système et vérifier que l'induction réalise une conversion de puissance électromécanique au sein du circuit. Problème 2 : Rails de Laplace verticaux (sans générateur) Sur deux rails conducteurs fixes, constitués de deux tiges verticales et parallèles distantes de $\ell$, glisse sans frottement une tige horizontale $MN$, de masse $m$, grâce à deux contacts glissants $M$ et $N$. On considère que l'axe $Oz$ du repère est parallèle aux tiges verticales. On néglige les résistances de la tige $MN$ et des rails, ainsi que le champ propre produit par les courants induits. On produit un champ magnétique $\vect{B}$ uniforme et permanent, normal au plan du circuit formé par la tige $MN$ et les rails. Les extrémités supérieures des rails sont reliées à un résistor de résistance $R$. La tige $MN$ est abandonnée sans vitesse initiale à l'instant $t=0$. Schéma du dispositif (rails verticaux, tige MN en chute) Étudier qualitativement l'évolution du système. On désignera par $v(t)$ la norme de la vitesse de la tige et $i(t)$ l'intensité du courant dans le circuit à l'instant $t$. Déterminer la force électromotrice $e$ induite dans la tige $MN$. En déduire l'équation électrique du montage. Établir l'équation mécanique du système. En déduire l'équation différentielle en $i(t)$ puis celle en $v(t)$. Montrer que $i$ et $v$ tendent vers une valeur limite que l'on précisera. Déterminer la puissance des forces de Laplace et l'exprimer en fonction de $i(t)$. Conclure sur la conversion électromagnétique. Problème 3 : Rails de Laplace verticaux avec générateur On considère un dispositif de rails de Laplace verticaux, dans lequel une tige métallique $MN$ de masse $m=0{,}5\,\text{g}$ peut glisser sans frottement le long de deux rails verticaux distants de $\ell=5\,\text{cm}$. La résistance totale du circuit est notée $R=8\,\Omega$ et elle est indépendante de la position de la tige $MN$. Les rails sont reliés à un générateur de tension délivrant une force électromotrice continue $E_{0}=1{,}5\,\text{V}$. On suppose que l'inductance propre du circuit est négligeable. Dans l'espace où peut se déplacer la tige règne un champ magnétique $B=0{,}5\,\text{T}$ stationnaire et uniforme. À l'instant $t=0$, la tige est lâchée sans vitesse initiale. Schéma du dispositif (rails verticaux avec générateur $E_0$) Calculer l'intensité de la force de Laplace lorsque le conducteur se déplace à la vitesse constante $v=3\,\text{m·s}^{-1}$. En appliquant la loi des mailles et le théorème du centre d'inertie, montrer que l'équation différentielle de la vitesse de la tige pour $t>0$ peut s'écrire sous la forme : $$ \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\ell^{2}B^{2}}{mR}\,v = g-\dfrac{B\ell E_{0}}{mR} $$ En déduire les expressions de la vitesse $v(t)$ de la tige et de l'intensité $i(t)$ du courant électrique circulant dans le dispositif, et les représenter. Quelle condition doit satisfaire la résistance $R$ du circuit pour que la tige tombe ? Déterminer la vitesse limite prise par la tige ainsi que la constante de temps de l'évolution de la tige. Déterminer la puissance des forces de Laplace et l'exprimer en fonction de $i(t)$. Conclure sur la conversion électromagnétique. Applications sur les rails de Laplace : Énoncés (Problèmes 1, 2, 3) Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de Sciences physiques