Université - Algèbre
Tous les sujets d’Algèbre 1 & 2
11 sujets · Groupes · Anneaux · Tribus · Polynômes · Idéaux
Auteur : Campus BF
Sommaire
Algèbre 2 : groupes, idéaux et polynômes
Algèbre 1 : tribus et arithmétique
Algèbre 2 : lois de composition, anneaux et polynômes
Algèbre 1 : filtres, applications et relations d’ordre
Algèbre 2 : centralisateurs et groupe des applications affines
Algèbre 2 : groupes, polynômes et anneau euclidien $\mathbb{Z}[i]$
Algèbre 1 : applications et images réciproques
Algèbre 1 : relations d’équivalence et ensembles saturés
Algèbre 2 : idempotents et polynômes
Algèbre 1 : ensembles ordonnés, groupes et idéaux
Algèbre 1 : polynômes, théorème de Lagrange et anneau $\mathbb{Z}[j]$
Algèbre 2 : groupes, idéaux et polynômes
Module : Algèbre 2 · Semestre 2 · Durée : 1 h 30
Exercice 1
1. Pour tout groupe $(G,\cdot)$, on note $Z(G)$ le centre de $G$ :
$$Z(G)=\{x\in G;\ \forall y\in G,\ xy=yx\}$$
a) Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$.
b) Soient $(G,\cdot)$ et $(G',\cdot)$ deux groupes et $f:G\to G'$ un morphisme de groupes. Montrer que :
(i) si $f$ est surjectif, alors $f(Z(G))\subseteq Z(G')$
(ii) si $f$ est injectif, alors $f^{-1}(Z(G'))\subseteq Z(G)$
2. Soient $E=\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$ et $*$ la loi interne définie par :
$$(x,y)*(x',y')=\Bigl(xx',\ xy'+\frac{y}{x'}\Bigr)$$
(i) Montrer que $(E,*)$ est un groupe.
(ii) Déterminer le centre $Z(E)$.
Exercice 2
Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau commutatif.
Rappeler la définition d’un idéal de $A$.
Montrer que, pour tout $b\in A$, l’ensemble $bA=\{ba;\,a\in A\}$ est un idéal de $A$.
Pour toute partie non vide $S$ de $A$, on pose $J(S)=\{a\in A;\,\forall x\in S,\ xa=0\}$. Montrer que $J(S)$ est un idéal de $A$.
Soit $x_0\in A$ tel que $x_0^2=x_0$. On pose $I=x_0A$ et $J=J(\{x_0\})$. Montrer que :
i) $I\cap J=\{0\}$
ii) $\forall x\in A,\ \exists(y,z)\in I\times J,\ x=y+z$
iii) La décomposition est unique
Exercice 3
Pour $a\in\mathbb{R}^*$, on pose
$$\begin{aligned}A(X)&=X^3+aX^2+a^2X+a^3,\\ B(X)&=X^3+aX^2-a^2X-a^3.\end{aligned}$$
Factoriser $A(X)$ et $B(X)$ dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$.
Vérifier que $X^2+a^2$ et $X^2-a^2$ sont premiers entre eux.
En déduire que $\mathrm{PGCD}(A,B)=X+a$.
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Algèbre 1 : tribus et arithmétique
Module : Algèbre 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30 · Documents interdits
Exercice 1 (12 points) : Tribus
Soit $E$ un ensemble non vide. Une tribu $\mathcal{T}$ sur $E$ est un sous-ensemble non vide de $\mathcal{P}(E)$ vérifiant :
$P_1$ : $\emptyset\in\mathcal{T}$
$P_2$ : Si $B\in\mathcal{T}$, alors $E\setminus B\in\mathcal{T}$
$P_3$ : Pour toute famille dénombrable $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d’éléments de $\mathcal{T}$, on a $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathcal{T}$
Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur $E$.
Montrer que $E\in\mathcal{T}$.
Montrer que si $B,C\in\mathcal{T}$, alors $B\Delta C\in\mathcal{T}$ (différence symétrique).
Montrer que $\mathcal{T}=\{\emptyset,E\}$ est une tribu, et que c’est la plus petite tribu sur $E$.
Montrer que $\mathcal{T}=\mathcal{P}(E)$ est une tribu, et que c’est la plus grande tribu sur $E$.
Soit $(\mathcal{T}_i)_{i\in I}$ une famille non vide de tribus sur $E$. Montrer que $\bigcap_{i\in I}\mathcal{T}_i$ est une tribu.
Soient $F$ un ensemble non vide, $f:E\to F$ une application et $\mathcal{T}\,'$ une tribu sur $F$. Montrer que $f^{-1}(\mathcal{T}\,')=\{f^{-1}(A);\,A\in\mathcal{T}\,'\}$ est une tribu sur $E$.
Exercice 2 (4 points)
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 6.
Montrer que, pour tous $n\in\mathbb{N}^*$ et $k\in\mathbb{N}$, le produit $n(n+1)\cdots(n+k)$ est divisible par $(k+1)!$.
Exercice 3 (4 points)
Soient $a\ge 2$ et $b\ge 2$ deux entiers naturels premiers entre eux.
Montrer qu’il existe un unique couple $(u_0,v_0)\in\mathbb{N}^2$ tel que $u_0 a-v_0 b=1$, $u_0<b$ et $v_0<a$.
Exprimer, en fonction de $u_0$, $v_0$, $a$ et $b$, tous les couples $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$ solutions de $ua-vb=1$.
Déterminer deux entiers $u$ et $v$ vérifiant $5u+1536v=1$.
Déterminer l’inverse de $\overline{5}$ dans l’anneau $\mathbb{Z}/1536\mathbb{Z}$.
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Algèbre 2 : lois de composition, anneaux et polynômes
Module : Algèbre 2 · Semestre 2 · Durée : 1 h 30
Exercice 1
On définit sur $\mathbb{R}$ la loi $*$ par $x*y=x+y-xy$.
Montrer que $*$ est associative, commutative et admet un élément neutre.
Montrer que l’ensemble des éléments symétrisables de $(\mathbb{R},*)$ est $G=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ et que $(G,*)$ est un groupe.
Montrer que $\varphi:x\mapsto 1-x$ est un isomorphisme de groupes de $(G,*)$ dans $(\mathbb{R}^*,\times)$.
Pour $x\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$, on note $x^{(n)}$ la puissance $n$-ième de $x$ pour la loi $*$ (avec $x^{(0)}=0$). Si $x\in G$, cette notation s’étend à tout $n\in\mathbb{Z}$.
a) Rappeler la définition de $x^{(n)}$.
b) Déterminer $x^{(n)}$ dans le cas $x=1$ et $n\in\mathbb{N}^*$.
c) Montrer que si $x\in G$ et $n\ge 1$, alors $1-x^{(n)}=(1-x)^n$.
d) Montrer que $\forall x\in G,\ \forall n\in\mathbb{Z},\quad x^{(n)}=1-(1-x)^n$.
Exercice 2
On considère $A=\{x+i\sqrt{5}\,y;\,x,y\in\mathbb{Z}\}$.
Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
Soit $f:A\to\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ définie par $f(x+i\sqrt{5}\,y)=\overline{x+y}$ (classe modulo $3$).
a) Montrer que $f$ est un morphisme d’anneaux surjectif.
On pose $K=3A+(1-i\sqrt{5})A$.
b) Calculer $f(3)$ et $f(1-i\sqrt{5})$ ; en déduire $K\subseteq\ker f$.
c) Montrer que $\ker f=K$.
Soit $N:A\to\mathbb{N}$ telle que $N(x+i\sqrt{5}\,y)=x^2+5y^2$.
a) Montrer que $N$ est un morphisme de $(A,\cdot)$ dans $(\mathbb{N},\cdot)$.
b) En déduire que le groupe des unités de $A$ est $\{-1,1\}$.
Exercice 3
Soit $P=(X^2-X+1)^2+1$.
Vérifier que $i$ est une racine simple de $P$.
Justifier que $-i$ est une racine simple de $P$.
Déterminer la factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$.
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Algèbre 1 : filtres, applications et relations d’ordre
Module : Algèbre 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Exercice 1 : Filtres
Soient $E$ un ensemble non vide et $\mathcal{P}(E)$ l’ensemble des parties de $E$. Un sous-ensemble $\mathcal{F}$ de $\mathcal{P}(E)$ est dit un filtre sur $E$ s’il vérifie :
$P_1$ : $\mathcal{F}\neq\emptyset$
$P_2$ : $\forall(X,Y)\in\mathcal{F}^2$, $X\cap Y\in\mathcal{F}$
$P_3$ : $\forall X\in\mathcal{F},\ \forall Y\in\mathcal{P}(E)$ : $X\subset Y\Rightarrow Y\in\mathcal{F}$
$P_4$ : $\emptyset\notin\mathcal{F}$
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\mathcal{P}(E)\setminus\{\emptyset\}$ soit un filtre sur $E$.
On définit sur $\mathcal{P}(E)$ la relation $\mathcal{R}$ par :
$$X\,\mathcal{R}\,Y\iff\exists B\in\mathcal{F},\quad X\cap B=Y\cap B.$$
Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$.
Exercice 2 : Applications
Soient $E$, $F$, $G$ trois ensembles, $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux applications.
Montrer par un contre-exemple que :
i) La réciproque de « $g\circ f$ surjective $\Rightarrow$ $g$ surjective » est fausse.
ii) La réciproque de « $g\circ f$ injective $\Rightarrow$ $f$ injective » est fausse.
Montrer que les implications suivantes sont vraies :
i) $g\circ f$ surjective et $g$ injective $\Rightarrow$ $f$ surjective.
ii) $g\circ f$ injective et $f$ surjective $\Rightarrow$ $g$ injective.
Exercice 3 : Relations d’ordre
Montrer que :
pour tout ensemble $E$, l’inclusion $\subset$ est une relation d’ordre sur $X=\mathcal{P}(E)$, partiel dès que $E$ possède au moins deux éléments ;
sur $X=\mathbb{R}$, l’ordre usuel $\le$ est une relation d’ordre total ;
sur $X=\mathbb{N}^*$, la relation $n\preceq m\iff m\mid n$ ($n$ est multiple de $m$) est une relation d’ordre partiel, non total.
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Algèbre 2 : centralisateurs et groupe des applications affines
Module : Algèbre 2 · Semestre 2 · Durée : 1 h 30
Exercice 1 : Centralisateur
Soit $G$ un groupe (loi multiplicative, neutre $1$). Pour tout $a\in G$ :
$$C_G(a)=\{x\in G;\ ax=xa\}$$
Montrer que $xa=ax\Rightarrow x^{-1}a=ax^{-1}$.
Montrer que $C_G(a)$ est un sous-groupe de $G$ (le centralisateur de $a$).
Soit $H$ un sous-groupe commutatif de $G$ et $a\in H$, $a\neq 1$. Montrer que $H\subseteq C_G(a)$.
Exercice 2 : Groupe des applications affines
Pour $(a,b)\in\mathbb{C}^2$, $f_{a,b}:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $z\mapsto az+b$. On note
$$G=\{f_{a,b};\ (a,b)\in\mathbb{C}^2,\ a\neq 0\}$$
(avec $f_{1,0}=1_{\mathbb{C}}$ l’identité).
Montrer que :
(a) toute $f_{a,b}\in G$ est bijective ; déterminer $f_{a,b}^{-1}$ et vérifier que $f_{a,b}^{-1}\in G$ ;
(b) si $f_{a,b},f_{c,d}\in G$, alors $f_{a,b}\circ f_{c,d}\in G$ ;
(c) $(G,\circ)$ est un groupe non commutatif.
Montrer que $T=\{f_{1,b};\ b\in\mathbb{C}\}$ est un sous-groupe commutatif de $G$ (groupe des translations). Montrer que $\varphi:b\mapsto f_{1,b}$ est un isomorphisme de $(\mathbb{C},+)$ dans $(T,\circ)$.
Montrer que tout $f=f_{a,b}$ avec $a\neq 1$ admet un unique point fixe $u$, et $f(z)=az+u(1-a)$.
On note $G_u=\{f_{a,u(1-a)};\ a\neq 0\}$. Montrer que $G_u$ est un sous-groupe commutatif de $G$ et que $\psi:a\mapsto f_{a,u(1-a)}$ est un isomorphisme de $(\mathbb{C}^*,\cdot)$ dans $(G_u,\circ)$.
Soient $f=f_{a,u(1-a)}\in G_u$ ($a\neq 1$) et $g=f_{c,d}\in G$ tels que $f\circ g=g\circ f$. Montrer :
(a) $(f\circ g)(u)=(g\circ f)(u)\Rightarrow f(g(u))=g(u)$.
(b) En déduire $g\in G_u$ (i.e. $C_G(f)\subseteq G_u$).
(c) Si $K$ est un sous-groupe commutatif de $G$ contenant un tel $f$, alors $K\subseteq G_u$.
Soit $H$ un sous-groupe de $G$ tel que $H\cap T=\{1_{\mathbb{C}}\}$. Montrer que $H$ est commutatif et qu’il existe $u$ tel que $H\subseteq G_u$.
Soit $f=f_{a,b}\in G$ avec $f\neq 1_{\mathbb{C}}$.
(a) Si $f\in T$ (c’est-à-dire $a=1$), montrer que $f^n=f_{1,nb}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ et que $f$ est d’ordre infini.
(b) Si $f=f_{a,u(1-a)}$ avec $a\neq 1$, montrer que $f^n=f_{a^n,u(1-a^n)}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, puis que $f$ est d’ordre $n$ si et seulement si $a$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, c’est-à-dire $a=e^{2ik\pi/n}$ avec $k\wedge n=1$ ($f$ est alors la rotation de centre $u$ et d’angle $\frac{2k\pi}{n}$).
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Algèbre 2 : groupes, polynômes et anneau euclidien $\mathbb{Z}[i]$
Module : Algèbre 2 · Semestre 2 · Durée : 1 h 30
Exercice 1 : Translations à gauche / droite
Soit $(G,\cdot)$ un groupe d’élément neutre $e$. Pour $g\in G$ :
$$\gamma_g:h\mapsto gh\qquad\delta_g:h\mapsto hg$$
Montrer que $\gamma_g$ est une bijection. On note $(\mathcal{B}(G),\circ)$ le groupe des bijections de $G$.
Montrer que $\varphi:g\mapsto\gamma_g$ est un homomorphisme de $(G,\cdot)$ dans $(\mathcal{B}(G),\circ)$.
Montrer que $\varphi$ est injective. En déduire que $\{\gamma_g;\ g\in G\}$ est un sous-groupe de $\mathcal{B}(G)$ isomorphe à $G$.
Montrer que $\delta_g$ est une bijection et que $\psi:g\mapsto\delta_g$ est une injection de $G$ dans $\mathcal{B}(G)$.
Montrer que $\psi$ est un homomorphisme ssi $G$ est abélien.
Exercice 2 : Polynômes
Soit $P_n(X)=a_n X^{n+1}+b_n X^n+1$, $n\in\mathbb{N}^*$.
Déterminer les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ pour que $P_n$ admette la racine double $1$ (Réponse : $a_n=n$, $b_n=-n-1$).
Avec les valeurs de $a_n$ et $b_n$ trouvées, $1$ est racine double de $P_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. En calculant $P_{k+1}-P_k$, déterminer le quotient $Q_n$ de la division euclidienne de $P_n$ par $(X-1)^2$.
Exercice 3 : $\mathbb{Z}[i]$ anneau euclidien
On pose $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib;\ a,b\in\mathbb{Z}\}$.
Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
On note $U$ l’ensemble des unités de $\mathbb{Z}[i]$ et $N(z)=z\bar z$. Montrer que $z\in U\iff N(z)=1$. Déterminer $U$.
Un anneau $A$ commutatif intègre est euclidien s’il existe $\varphi:A^*\to\mathbb{N}$ vérifiant :
$E_1$ : $\forall(a,b)\in A^*\times A^*$, $\varphi(ab)\ge\varphi(a)$
$E_2$ : $\forall a\in A,\ b\in A^*$, $\exists q,r\in A$ : $a=bq+r$ avec $r=0$ ou $\varphi(r)<\varphi(b)$
Montrer que :
(i) $\mathbb{Z}$ est euclidien avec $\varphi(a)=|a|$.
(ii) $K[X]$ ($K$ corps) est euclidien avec $\varphi(P)=\deg P$.
On pose $\varphi:\mathbb{Z}[i]\to\mathbb{N}$, $\varphi(a)=N(a)=a\bar a$. Montrer que $\varphi$ vérifie $E_1$.
Soient $(a,b)\in\mathbb{Z}[i]\times\mathbb{Z}[i]^*$. On écrit $\frac{a}{b}=\lambda+i\mu$ avec $\lambda,\mu\in\mathbb{Q}$.
(i) Poser $l=E\bigl(\lambda+\tfrac12\bigr)$ et $m=E\bigl(\mu+\tfrac12\bigr)$, où $E$ désigne la partie entière ; montrer que $|\lambda-l|\le\tfrac12$ et $|\mu-m|\le\tfrac12$.
(ii) Poser $q=l+im$ et $r=a-bq$. Montrer que $r\in\mathbb{Z}[i]$ et que $r=0$ ou $\varphi(r)\le\tfrac12\varphi(b)<\varphi(b)$. En déduire que $\mathbb{Z}[i]$ est euclidien.
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Algèbre 1 : applications et images réciproques
Module : Algèbre 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Problème : Applications et images réciproques
Soient $E,E'$ deux ensembles et $f:E\to E'$ une application.
I)
Soit $I$ un ensemble non vide.
Montrer que pour toute famille $(A'_i)_{i\in I}$ de parties de $E'$ :
$$\begin{aligned}f^{-1}\Bigl(\bigcup_{i\in I}A'_i\Bigr)&=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(A'_i),\\ f^{-1}\Bigl(\bigcap_{i\in I}A'_i\Bigr)&=\bigcap_{i\in I}f^{-1}(A'_i).\end{aligned}$$
Montrer que pour toute famille $(A_i)_{i\in I}$ de parties de $E$ :
$$\begin{aligned}f\Bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\Bigr)&=\bigcup_{i\in I}f(A_i),\\ f\Bigl(\bigcap_{i\in I}A_i\Bigr)&\subset\bigcap_{i\in I}f(A_i).\end{aligned}$$
À quelle condition sur $f$ a-t-on l’égalité $f\Bigl(\bigcap_{i\in I}A_i\Bigr)=\bigcap_{i\in I}f(A_i)$ pour toutes les familles $(A_i)_{i\in I}$ ?
II)
Soient $A\subset E$ et $B\subset E'$.
Établir que $A\subset f^{-1}(f(A))$. À quelle condition sur $f$ a-t-on l’égalité pour toute partie $A$ de $E$ ?
Établir que $f(f^{-1}(B))\subset B$. À quelle condition sur $f$ a-t-on l’égalité pour toute partie $B$ de $E'$ ?
III)
Posons $S=\{X\subset E;\ f^{-1}(f(X))=X\}$.
Soit $A\subset E$ quelconque. Montrer que $f^{-1}(f(A))\in S$.
Montrer que toute réunion et toute intersection d’une famille non vide d’éléments de $S$ appartiennent à $S$.
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Algèbre 1 : relations d’équivalence et ensembles saturés
Module : Algèbre 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Partie I : Classes d’équivalence
Soient $E$ un ensemble non vide et $R$ une relation d’équivalence sur $E$. $\bar a$ désigne la classe de $a\in E$ et $E/R$ l’ensemble quotient.
Soient $A_R$ et $A'_R$ deux classes. Montrer que $A_R\cap A'_R=\emptyset$ ou $A_R=A'_R$.
Montrer que les classes d’équivalence forment une partition de $E$. Réciproquement, toute partition $P$ de $E$ définit une unique relation d’équivalence $R_P$ dont les classes sont les éléments de $P$.
Partie II : Ensembles saturés
$S\subset E$ est saturé pour $R$ si : $a'\in S$ et $a\,R\,a'\Rightarrow a\in S$.
Soit $x\in E$. Montrer que $\bar x$ est saturé.
Montrer qu’un sous-ensemble $S\subset E$ est saturé ssi $S$ est une réunion de classes d’équivalence.
Partie III : Saturé d’un ensemble
Le saturé de $F\subset E$ est $\overline{F}=\bigcup_{b\in F}\bar b$.
Montrer que $\overline{F}$ est saturé.
Montrer que $\overline{F}$ est le plus petit saturé contenant $F$.
Montrer que $F=\overline{F}\iff F$ est saturé.
Application
Sur $E=\mathbb{N}$ et pour $k\in\mathbb{N}$, on définit la relation $R_k$ par : $m\,R_k\,n\iff |m-n|$ est un multiple de $k$ (pour $k=0$, cela signifie $m=n$).
Montrer que $R_k$ est une relation d’équivalence pour tout $k\in\mathbb{N}$.
Déterminer $\mathbb{N}/R_0$, $\mathbb{N}/R_1$, $\mathbb{N}/R_2$.
Déterminer les sous-ensembles saturés pour $R_0$, $R_1$, $R_2$.
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Algèbre 2 : idempotents et polynômes
Module : Algèbre 2 · Semestre 2 · Durée : 1 h 30
Exercice 1 : Idempotents
Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau commutatif. On pose $B=\{x\in A;\ x^2=x\}$.
Montrer que si $x\in B$, alors $1-x\in B$ et $(1-2x)^2=1$ ; en déduire que $1-2x$ est inversible d’inverse $1-2x$.
On définit dans $B$ la loi $x\star y=x+y-2xy$. Montrer que $\star$ est une loi de composition interne dans $B$.
Montrer que $(B,\star,\cdot)$ est un anneau commutatif.
Exercice 2 : Polynôme $P(X)$
Soit $P(X)=X^7-3X^6+4X^4-4X^3+3X-1$ dans $\mathbb{C}[X]$.
Montrer que $P$ est divisible par $(X+1)^2(X-1)$.
Déterminer le quotient $Q(X)$.
Montrer que si $\alpha$ est racine de $Q$, alors $\alpha\neq 0$ et $\frac{1}{\alpha}$ est aussi racine de $Q$.
Poser $u=\alpha+\frac{1}{\alpha}$ ; vérifier $Q(\alpha)=\alpha^2(u^2-4u+3)$.
En déduire que $\alpha$ est racine de $Q$ ssi $u^2-4u+3=0$.
Trouver toutes les racines de $P$ et décomposer $P$ dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$.
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Algèbre 1 : ensembles ordonnés, groupes et idéaux
Module : Algèbre 1 · Semestre 1 · Durée : 3 h
Exercice 1 : Ensemble ordonné avec loi $*$
Soit $(E,\le)$ un ensemble ordonné muni d’une loi interne $*$ vérifiant, pour tous $a,b,x\in E$ :
(i) $a*b\le a$
(ii) $a*b\le b$
(iii) $\bigl(x\le a\ \text{et}\ x\le b\bigr)\Rightarrow x\le a*b$
Montrer que :
$*$ est commutative.
Tout $a\in E$ est idempotent : $a*a=a$.
Pour tous $a,b,c\in E$ : $a\le b\Rightarrow a*c\le b*c$.
Pour tous $a,b,c,d\in E$ : $\bigl(a\le b\ \text{et}\ c\le d\bigr)\Rightarrow a*c\le b*d$.
$*$ est associative.
Exercice 2 : Groupe avec $x\mapsto x^3$ surjectif
Soit $(G,\cdot)$ un groupe tel que $f:x\mapsto x^3$ soit un endomorphisme surjectif. Montrer que $G$ est abélien.
Soit $(x,y)\in G^2$. En considérant $z$ tel que $f(z)=y$ :
Montrer que (a) $(xzx^{-1})^3=xyx^{-1}$ et (b) $(xzx^{-1})^3=x^3yx^{-3}$.
En déduire $yx^2=x^2 y$.
Vérifier $x(yx)^2 y=x^3 y^3$.
En déduire $(yx)^2=y^2 x^2$.
Montrer $xy=yx$.
Exercice 3 : Idéaux et localisation
I. Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau commutatif. $I\subset A$ est un idéal si $(I,+)$ est un sous-groupe et $\forall a\in A,\ \forall x\in I,\ ax\in I$.
Caractériser les idéaux par : $I\neq\emptyset$, $x+y\in I$, $ax\in I$.
Déterminer les idéaux de $(\mathbb{Z},+,\cdot)$.
Montrer que $\forall b\in A$, $bA=\{ba;\,a\in A\}$ est un idéal.
II. Soient $\mathbb{K}$ un corps, $A$ un sous-anneau de $\mathbb{K}$, $S\subset A$ contenant $1$, ne contenant pas $0$, stable pour la multiplication. Pour toute partie $B$ de $\mathbb{K}$, on pose $B_S=\{s^{-1}b;\ s\in S,\ b\in B\}$.
Montrer que $A_S$ est un sous-anneau de $\mathbb{K}$ contenant $A$.
Soit $I$ un idéal de $A$. Montrer : (a) $I_S$ idéal de $A_S$ ; (b) $I_S\cap A$ idéal de $A$ ; (c) $I_S=(I_S\cap A)_S$.
Soit $J$ idéal de $A_S$. Montrer $J\subseteq(J\cap A)_S$ et $J_S=J$ ; en déduire $J=(J\cap A)_S$.
Déduire : $J$ idéal de $A_S$ ssi $J=I_S$ avec $I$ idéal de $A$.
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Algèbre 1 : polynômes, théorème de Lagrange et anneau $\mathbb{Z}[j]$
Module : Algèbre 1 · Semestre 1 · Durée : 3 h
Exercice 1 : Polynôme $P=(X^2-X+1)^2+1$
Vérifier que $i$ est une racine de $P$.
En déduire la factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$.
Exercice 2 : Sous-groupes, classes, théorème de Lagrange
Soit $(G,\cdot)$ un groupe d’élément neutre $e$. Pour $A\subseteq G$ et $x\in G$ :
$$\begin{aligned}xA&=\{xa;\,a\in A\},\\ Ax&=\{ax;\,a\in A\},\\ xAx^{-1}&=\{xax^{-1};\,a\in A\}.\end{aligned}$$
I. Relations modulo $H$
Soit $H$ un sous-groupe de $G$. On définit :
$$\begin{aligned}x\,\mathcal{R}\,y&\iff xy^{-1}\in H,\\ x\,\mathcal{L}\,y&\iff x^{-1}y\in H.\end{aligned}$$
Montrer que $\mathcal{R}$ et $\mathcal{L}$ sont des relations d’équivalence, avec $x\,\mathcal{R}\,y\Rightarrow xz\,\mathcal{R}\,yz$ et $x\,\mathcal{L}\,y\Rightarrow zx\,\mathcal{L}\,zy$.
Soit $a\in G$. Vérifier $C_{\mathcal{R}}(a)=Ha$ et $C_{\mathcal{L}}(a)=aH$. Montrer que $f_a:H\to Ha$, $x\mapsto xa$ et $g_a:H\to aH$, $x\mapsto ax$ sont des bijections.
Montrer que $G/\mathcal{R}$ et $G/\mathcal{L}$ sont équipotents.
Si $G$ est fini, noter $o(G)$ et $o(H)$. Montrer que toutes les classes modulo $\mathcal{R}$ ont le même cardinal $o(H)$, et $o(G)=k\cdot o(H)$ (théorème de Lagrange).
II. Sous-groupes distingués
$H\triangleleft G$ si $\forall x\in G,\ \forall h\in H,\ xhx^{-1}\in H$.
Montrer l’équivalence : (i) $H\triangleleft G$ ; (ii) $\forall x,\ xHx^{-1}=H$ ; (iii) $\forall x,\ xH=Hx$.
Si $H\triangleleft G$, alors $\mathcal{R}=\mathcal{L}$.
Montrer que le centre $Z(G)=\{y\in G;\ \forall x,\ xy=yx\}$ est un sous-groupe distingué de $G$.
Soit $f:G\to G'$ un morphisme. Montrer :
(i) $H\triangleleft G\Rightarrow f(H)\triangleleft f(G)$
(ii) $H'\triangleleft G'\Rightarrow f^{-1}(H')\triangleleft G$
Exercice 3 : Anneau $\mathbb{Z}[j]$
On pose $A=\{a+jb;\ a,b\in\mathbb{Z}\}$ où $j=\exp(i\frac{2\pi}{3})=-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
On note $U(A)$ le groupe des unités de $A$ et $N(z)=|z|^2$ pour $z\in\mathbb{C}$. Montrer que :
(i) Si $z\in A$, alors $N(z)\in\mathbb{N}$.
(ii) $z\in U(A)\iff N(z)=1$.
(iii) $N(a+jb)=1\Rightarrow a,b\in\{-1,0,1\}$.
Décrire le groupe $U(A)$.
Soit $\Phi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{C}$, $\Phi(P)=P(j)$.
(a) $\Phi$ est un morphisme d’anneaux.
(b) Déterminer $\ker\Phi$ (utiliser $j^2+j+1=0$).
(c) $\mathrm{Im}\,\Phi=\{a+jb;\ a,b\in\mathbb{Q}\}$.
(d) $\mathrm{Im}\,\Phi$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.
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Auteur : Campus BF