Mécanique: Point matériel · Forces centrales · Changement de référentiel · Dynamique

Université - Mécanique Tous les sujets de Mécanique 10 sujets · Point matériel · Forces centrales · Changement de référentiel · Dynamique Auteur : Campus BF Sommaire Mécanique : force centrale, spirale logarithmique et tige tournante Mécanique : 3e loi de Kepler, oscillateur harmonique et anneau sur un cercle Mécanique : accélération centrale, cercle en rotation et support circulaire Mécanique : 3e loi de Kepler, cercle tournant et demi-sphère Mécanique : coordonnées sphériques, accélération angulaire constante et circonférence Mécanique du point matériel : triangle en rotation, changement de référentiel et dynamique Mécanique du point : repère mobile à origine variable Mécanique : repère de Frenet, ellipse et circonférence verticale Mécanique du point matériel : point mobile sur une tige verticale Mécanique du point : cercle mobile, cinématique et dynamique Mécanique : force centrale, spirale logarithmique et tige tournante Module : Mécanique I. Force centrale attractive Dans un référentiel galiléen $R_0$, un point matériel $M$ de masse $m$ est soumis à une force centrale attractive : $\vec{F}=-\dfrac{km}{r^2}\vec{e}_r$, où $k$ est une constante positive, $\vec{e}_r$ le vecteur unitaire porté par $\overrightarrow{OM}$ avec $O$ point fixe centre de forces et $r=\overrightarrow{OM}\cdot\vec{e}_r$. Le point matériel est lancé d’un point $M_0$ avec une vitesse $\vec{v}_0$ non colinéaire à $\overrightarrow{OM}_0$, faisant un angle $\alpha$ avec $\overrightarrow{OM}_0$. Montrer que la trajectoire de $M$, dans son mouvement par rapport au référentiel $R_0$ supposé galiléen, est contenue dans le plan $(O,\overrightarrow{OM}_0,\vec{v}_0)$. On repère la position de $M$ dans ce plan par ses coordonnées polaires $r$ et $\theta$. On rappelle : $$\vec{\gamma}_{R_0}(M)=-C^2 u^2\left[\frac{d^2u}{d\theta^2}+u\right]\vec{e}_r,$$ où $C=r^2\dfrac{d\theta}{dt}$ est la constante des aires et $u=\dfrac1r$. a. Montrer que $u$ satisfait à l’équation différentielle : $\dfrac{d^2u}{d\theta^2}+u=\dfrac{k}{C^2}$. b. Montrer que la trajectoire de $M$ est une conique d’équation (l’origine des angles étant convenablement choisie) : $$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}$$ où $p=\dfrac{C^2}{k}$ et $e=A\dfrac{C^2}{k}$, $A$ étant une constante d’intégration. On rappelle : $v_{R_0}^2(M)=C^2\left[u^2+\left(\dfrac{du}{d\theta}\right)^2\right]$. a. Calculer l’énergie mécanique $E$ de $M$ en fonction de $u$ (énergie potentielle nulle à l’infini). b. Montrer en remplaçant $u$ par son expression en fonction de $\theta$ que : $$E=\frac{mk^2}{2C^2}(e^2-1).$$ II. Spirale logarithmique Le mouvement d’une particule est central et sa trajectoire est une spirale logarithmique $r=Ae^{k\theta}$, où $A$ et $k$ sont des constantes positives. On note $C=r^2\dot{\theta}$ la constante des aires. Exprimer, en fonction de $r$, $k$ et $C$, le vecteur vitesse de cette particule. Exprimer, en fonction de $r$, $k$ et $C$, le vecteur accélération de la particule. III. Tige tournante Un point matériel $M$ de masse $m$, soumis au champ de pesanteur $\vec{g}$, peut glisser sans frottement sur une tige $(OR)$ de masse négligeable, faisant un angle aigu constant $\theta$ avec l’axe vertical ascendant $(OZ)$. On pose $\overrightarrow{OM}=r(t)\vec{u}$ ($\vec{u}$ unitaire porté par $(OR)$) et on note $\vec{v}$ le vecteur unitaire de la direction $\vec{j}\wedge\vec{u}$. À l’instant initial, $M$ est en $M_0$ tel que $\overrightarrow{OM}_0=r_0\vec{u}$ ($r_0>0$ constante) et sa vitesse par rapport à l’axe $(OR)$ est nulle. La tige $(OR)$ tourne avec une vitesse angulaire constante $\omega$ autour de $(OZ)$. Prenons comme repère absolu $R(OXYZ)$ de base $(\vec{I},\vec{J},\vec{K})$ et comme repère relatif $R'(OxyZ)$ contenant la tige $(OR)$, de base $(\vec{i},\vec{j},\vec{K})$, avec $\varphi=(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{Ox})=\omega t$ (voir figure). La tige est contenue dans le plan $(OyZ)$ : $\vec{u}=\sin\theta\,\vec{j}+\cos\theta\,\vec{K}$, et $\vec{v}=\vec{i}$ (car $\vec{j}\wedge\vec{u}=\cos\theta\,\vec{i}$ et $\cos\theta>0$). X Y Z, z x y R O I J K i j M u v j θ φ = ωt g Figure : Tige (OR) tournante autour de (OZ) (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) Donner les différentes forces qui s’appliquent sur $M$ par rapport à un observateur placé dans $R'(OxyZ)$. Écrire le principe fondamental de la dynamique dans $R'(OxyZ)$. En déduire les équations scalaires (projections sur $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{v}\wedge\vec{u}$). En posant $\Omega=\omega\sin\theta$, montrer que l’équation différentielle du mouvement s’écrit : $$\ddot{r}-\Omega^2 r=-g\cos\theta\quad(*).$$ En résolvant $(*)$, montrer que la solution est de la forme $r=\alpha\,\mathrm{ch}\,\Omega t+\alpha_0$ (avec $\mathrm{ch}\,x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$). Calculer $\alpha$ et $\alpha_0$. ↑ Retour au sommaire Mécanique : 3e loi de Kepler, oscillateur harmonique et anneau sur un cercle Module : Mécanique I. 3 e loi de Kepler Considérons un point matériel $M$, de masse $m$, dans un champ de forces centrales de la forme $\vec{F}=F(r)\dfrac{\vec{r}}{r}=-k\dfrac{\vec{r}}{r^3}$, où $k>0$, $\vec{r}=\overrightarrow{OM}$ ; on suppose que la trajectoire de $M$ est elliptique. Montrer que le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe (3 e loi de Kepler). II. Oscillateur harmonique libre Un point matériel de masse $m$ est fixé à un ressort de raideur $k$ ; on néglige les frottements et on note $x$ l’écart à la position d’équilibre, le long de l’axe du ressort. Déterminer l’équation différentielle du mouvement : En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur l’axe du ressort. En raisonnant sur l’énergie. III. Anneau sur un cercle Le repère galiléen $R_0$ est représenté par le système de coordonnées $(O,\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$, le plan $(O,\vec{e}_x,\vec{e}_y)$ étant vertical et $\vec{e}_y$ dirigé vers le haut. On considère par rapport à $R_0$ un point matériel $M$ assimilé à un anneau de masse $m$ astreint à décrire le cercle $(C)$ appartenant au plan $(O,\vec{e}_x,\vec{e}_y)$ de centre $O$ et de rayon $a$. On note $A$ le point de coordonnées $(0,a,0)$ dans $R_0$ et $B$ de coordonnées $(0,-a,0)$ dans $R_0$. On pose l’angle $\theta(t)=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OM})$, $\vec{e}_r$ unitaire de $\overrightarrow{OM}$ et $\vec{e}_\theta=\vec{e}_z\wedge\vec{e}_r$. Le point $M$ est soumis, en plus de son poids, à la force $\vec{F}=k\bigl(\|\overrightarrow{AM}\|-\|\overrightarrow{AB}\|\bigr)\vec{u}$ avec $k>0$ (comme $\|\overrightarrow{AM}\|\le\|\overrightarrow{AB}\|$, cette force est dirigée vers $A$) et à la réaction $\vec{N}=-N\vec{e}_r$ du cercle sur $M$ ($N$ inconnue, $\vec{u}$ unitaire de $\overrightarrow{AM}$). Forces de frottement nulles. À partir du principe fondamental de la dynamique, déterminer : L’équation du mouvement de $M$. L’expression de la réaction $N$ en fonction de $\theta$ et $\dot{\theta}$. x y A (0, a) B (0, −a) O I e x e y e r e θ N P F u M θ θ/2 a e z : vers l’observateur Figure : Anneau M sur le cercle (C), plan Oxy vertical (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) ↑ Retour au sommaire Mécanique : accélération centrale, cercle en rotation et support circulaire Module : Mécanique I. Accélération centrale Dans le cas d’un mouvement à accélération centrale (c’est-à-dire $\vec{\gamma}$ colinéaire à $\overrightarrow{OM}$), montrer que le vecteur accélération $\vec{\gamma}$ peut s’écrire sous la forme : $$\vec{\gamma}=-C^2 u^2\left[\frac{d^2u}{d\theta^2}+u\right]\vec{e}_\rho$$ et qu’on a aussi : $v^2=\left[\left(\dfrac{du}{d\theta}\right)^2+u^2\right]C^2$ où $u=\dfrac{1}{\rho}$ et $C$ est la constante des aires telle que $C=\rho^2\dot{\theta}=\mathrm{cste}$. Pour cela on écrit : $\vec{\gamma}=\gamma\,\vec{e}_\rho$ où $\vec{e}_\rho$ est le vecteur unitaire porté par $\overrightarrow{OM}$ et $\gamma$ la composante de $\vec{\gamma}$ suivant $\vec{e}_\rho$. II. Cercle en rotation On considère un cercle de centre $O$ et de rayon $r$, placé dans un plan vertical. Ce cercle est animé d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe vertical ascendant $OZ$ à la vitesse angulaire $\omega$. Un point $M$ du cercle est animé d’un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire $\omega'$. Prenons comme repère fixe le trièdre $R(OXYZ)$ et comme repère mobile $R'(OX'Y'Z)$ lié au cercle (figure ci-contre), l’axe $OX'$ étant l’axe du cercle (perpendiculaire à son plan) et $OY'$ l’axe horizontal directement perpendiculaire à $OX'$ ; le plan du cercle est donc le plan $(OY'Z)$. On note $\theta=(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OX'})=\omega t$. Soient $(\vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k})$ les vecteurs unitaires de $OX'$, $OY'$ et $OZ$ respectivement et $\theta'=(\overrightarrow{OY'},\overrightarrow{OM})$. N.B. : Tous les vecteurs à déterminer devront être exprimés dans la base cartésienne $(\vec{i}\,',\vec{j}\,',\vec{k})$ de $R'$ en fonction du temps $t$ et des données du problème. X Y Z X' Y' M O i ′ j ′ k θ' θ = ωt ω' ω Figure : Cercle en rotation uniforme (ω) autour de OZ, avec M en rotation uniforme (ω′) sur le cercle (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) Exprimer, en fonction du paramètre $\theta'$, le vecteur position $\overrightarrow{OM}$, la vitesse relative et l’accélération relative de $M$ par rapport à $R'$. Écrire, dans la base de $R'$, la vitesse d’entraînement, l’accélération d’entraînement et l’accélération de Coriolis. En déduire la vitesse absolue et l’accélération absolue de $M$ par rapport à $R$. Retrouver ces résultats directement à partir des composantes de $\overrightarrow{OM}$. i. Déterminer les modules de la vitesse absolue $v_a$ et de l’accélération absolue $\gamma_a$ de $M$. ii. Examiner les cas particuliers où $M$ est au point le plus haut ou au point le plus bas du cercle. iii. Trouver la relation liant $\omega$ avec $\omega'$, pour que le module de $\gamma_a$ soit constant. III. Support circulaire Soit un point matériel $M$ de masse $m$ se déplaçant sur un support circulaire de centre $O$ et de rayon $R$ dans un repère $\mathcal{R}(Oxyz)$. On suppose qu’il n’y a pas de frottement. Le support est situé dans le plan vertical $(Oyz)$, $Oz$ étant ascendant et $Ox$ dirigé vers l’observateur ; $M$ est repéré par ses coordonnées polaires $(R,\theta)$, $\theta$ étant l’angle entre la verticale descendante et $\overrightarrow{OM}$ (voir figure), et soumis à son poids, qui dérive de l’énergie potentielle $U$. Déterminer l’équation du mouvement de $M$ par rapport à $\mathcal{R}$ à partir du théorème de l’énergie mécanique. On rappelle : $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,U=\dfrac{\partial U}{\partial r}\vec{e}_r+\dfrac1r\dfrac{\partial U}{\partial\theta}\vec{e}_\theta$. y z O K J x I e r e θ M θ R Figure : Support circulaire dans le plan vertical (Oyz) (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) ↑ Retour au sommaire Mécanique : 3e loi de Kepler, cercle tournant et demi-sphère Module : Mécanique I. 3 e loi de Kepler Considérons un point matériel $M$, de masse $m$, dans un champ de forces centrales de la forme $\vec{F}=F(r)\dfrac{\vec{r}}{r}=-k\dfrac{\vec{r}}{r^3}$ où $k>0$, $\vec{r}=\overrightarrow{OM}$ ; on suppose que la trajectoire de $M$ est elliptique. Montrer que le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe (3 e loi de Kepler). II. Cercle tournant Dans le plan $Oxy$, un cercle de diamètre $OA=2R$ tourne à la vitesse angulaire constante $\omega$ autour du point $O$. On lie à son centre mobile $O'$ deux axes rectangulaires $O'x'y'$, l’axe $O'x'$ étant dirigé suivant $OA$. À l’instant $t=0$, $A$ est sur $Ox$ ($O'x'$ et $Ox$ colinéaires). Un point $M$, initialement en $A$, parcourt la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire $\omega$. x y x' y' O O' A M i j i ′ j ′ ωt ωt R Figure : Cercle de diamètre OA = 2R tournant autour de O (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération de $M$ dans le repère $Oxy$. Calculer les composantes de la vitesse et de l’accélération relatives de $M$ dans $O'x'y'$. Calculer la vitesse d’entraînement, l’accélération d’entraînement et l’accélération de Coriolis. III. Demi-sphère Un point matériel de masse $m$ glisse sans frottement sur une demi-sphère de centre $O$ et de rayon $R$ posée sur le plan horizontal $Oxy$ ; le mouvement a lieu dans le plan vertical $(Oxz)$, $Oz$ étant l’axe vertical ascendant. À l’instant initial $(t=0)$, la masse $m$ est lancée du point $M_0$ ($\theta=\theta_0$) avec la vitesse initiale $v_0$, tangente à la demi-sphère. À l’instant $t$ elle est en un point $M$ quelconque repéré par ses coordonnées polaires $R$ et $\theta=(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})$. Exprimer la vitesse de la masse $m$ à l’instant $t$. À quelles forces est-elle soumise ? On notera $\vec{R}$ la réaction de la demi-sphère. Exprimer l’accélération $\vec{\gamma}$ de la masse $m$ et écrire le principe fondamental de la dynamique en projetant les forces. Quelle est l’expression de l’énergie mécanique du système ? En déduire une relation entre $\bigl(\dfrac{d\theta}{dt}\bigr)^2$, $\sin\theta_0$, $\sin\theta$ et $v_0$. Montrer que la masse $m$ décolle de la sphère pour une valeur de $\theta$ que l’on déterminera. x z O M 0 v 0 e r e θ M θ 0 θ R plan horizontal Oxy Figure : Demi-sphère posée sur le plan horizontal Oxy (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) ↑ Retour au sommaire Mécanique : coordonnées sphériques, accélération angulaire constante et circonférence Module : Physique I. Coordonnées sphériques En coordonnées sphériques le vecteur position $\overrightarrow{OM}$ s’écrit : $$\overrightarrow{OM}=r\vec{e}_r(\theta,\phi)=r\cos\phi\sin\theta\,\vec{i}+r\sin\phi\sin\theta\,\vec{j}+r\cos\theta\,\vec{k}$$ et le vecteur vitesse dans la base sphérique $(\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_\phi)$ : $$\vec{V}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\theta}\vec{e}_\theta+r\dot{\phi}\sin\theta\,\vec{e}_\phi.$$ Déterminer les composantes du vecteur accélération dans la base sphérique. II. Trajectoire circulaire à accélération angulaire constante Dans le plan fixe $Ox_0y_0$, un point matériel $M$ de masse $m$ décrit une trajectoire circulaire de centre $O$ et de rayon $R$ avec une accélération angulaire constante $\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=a$ ($a$ constante positive). Le point $M$ est repéré par ses coordonnées polaires $(r=R,\theta)$. Base $(\vec{e}_r,\vec{e}_\theta)$. À $t=0$, $M$ est en $A$ ($r_0=R$, $\theta=0$) avec vitesse nulle ($v_0=0$). x₀ y₀ O A M e r e θ i j z₀ θ R Figure : Mouvement circulaire à accélération angulaire constante (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) À partir de $\overrightarrow{OM}=R\vec{e}_r$, calculer les expressions de la vitesse et de l’accélération instantanées de $M$ en coordonnées polaires. Calculer l’accélération normale de $M$. Montrer qu’elle est proportionnelle à l’angle $\theta$. Calculer en fonction de $\theta$ l’angle $\varphi$ que fait à chaque instant le vecteur accélération avec $\overrightarrow{OM}$ (déterminer $\tan\varphi$). Calculer le travail effectué pendant un tour par la force $\vec{F}$ à l’origine du mouvement. III. Circonférence fixe / en rotation On considère un objet $M$ quasi-ponctuel, de masse $m$, mobile sans frottement, sur une circonférence $(C)$ de centre $O$ et de rayon $r$. La circonférence $(C)$ est située dans le plan vertical $xOy$ d’un référentiel galiléen $\mathcal{R}(O,x,y,z)$ de vecteurs unitaires $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$, l’axe $Oy$ étant dirigé vers le haut. La circonférence $(C)$ est fixe dans le plan $xOy$, l’objet $M$ est situé du côté extérieur de $(C)$ et on pose $\alpha=\mathrm{angle}(\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{OM})$. En appliquant le PFD, donner l’équation différentielle du mouvement de $M$. La circonférence $(C)$ est animée, autour d’une de ses tangentes verticales, d’un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire $\omega$. On assimile $M$ à un anneau enfilé sur $(C)$ et on désigne par $\theta$ l’angle que fait $\overrightarrow{OM}$ avec $Ox$. Trouver l’équation différentielle du mouvement de $M$. En appliquant le théorème du moment cinétique et le théorème de l’énergie cinétique, retrouver les équations différentielles dans les deux cas précédents. ↑ Retour au sommaire Mécanique du point matériel : triangle en rotation, changement de référentiel et dynamique Module : Physique 1 · Durée : 1 h 30 Soient un référentiel fixe (absolu) $R_0(O,X_0,Y_0,Z_0)$ de base orthonormée directe $(\vec{I}_0,\vec{J}_0,\vec{K}_0)$ et un second repère mobile (relatif) $R(O,x,y,z=Z_0)$ muni de la base orthonormée directe $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Le repère $R$ se déduit de $R_0$ par rotation autour de l’axe $(OZ_0)$ d’angle $\alpha(t)=(\overrightarrow{OX_0},\overrightarrow{Ox})=\lambda t$ où $\lambda$ est une constante. On considère un triangle $OAB$, lié au repère $R$, rectangle en $O$ et l’angle $(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA})=\theta$ (constante). Le plan de ce triangle est dans le plan méridien $(O,\vec{i},\vec{K}_0)$. Modules : $AB=c$, $OA=a$, $OB=b$. Un point $M$, de masse $m$, est en mouvement de $A$ vers $B$ ; on définit le mouvement de $M$ sur $AB$ par $\overrightarrow{AM}=r(t)\vec{u}$ où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de $\overrightarrow{AB}$. X 0 (I 0 ) Y 0 (J 0 ) Z 0 = Z (K 0 ) x (i) y (j) O A B M u θ α(t) = λt a b c g Figure : Triangle OAB lié au repère mobile R (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) I. Cinématique Déterminer la vitesse et l’accélération du point $B$ par rapport à $R_0$. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{OB}$ dans la base de $R_0$. Déduire l’équation cartésienne de la trajectoire de $B$ par rapport à $R_0$, préciser sa nature. Déterminer le rayon de courbure de cette trajectoire. II. Changement de référentiel Préciser la nature des mouvements relatif et d’entraînement de $M$. Donner l’allure de la trajectoire absolue de $M$. Déterminer les vitesses relative et d’entraînement de $M$ ; en déduire sa vitesse absolue. Exprimer la vitesse absolue de $M$ à partir du vecteur $\overrightarrow{OM}$. Déterminer les accélérations relative, Coriolis et d’entraînement de $M$ ; en déduire son accélération absolue. Exprimer l’accélération absolue de $M$ à partir de la vitesse absolue $\vec{V}_a(M)$. III. Dynamique Le point $M$, de masse $m$, est soumis à son poids ($\vec{g}$ est porté par $-\vec{K}_0$) et à la réaction de l’hypoténuse $AB$ notée $\vec{R}$. On considère un vecteur unitaire $\vec{v}$ tel que $\vec{v}=\vec{u}\wedge\vec{j}$ pour former une base orthonormée directe $(\vec{u},\vec{j},\vec{v})$. Donner, dans la base $(\vec{u},\vec{j},\vec{v})$, les composantes de $\vec{R}$. Dans le cas où il n’y a pas de frottement entre $M$ et $AB$, que devient l’équation différentielle du mouvement ? Déterminer la solution de cette équation, sachant qu’à $t=0$, $r=r_0$ et $\dfrac{dr}{dt}=0$ ($r_0$ constante). ↑ Retour au sommaire Mécanique du point : repère mobile à origine variable Module : Physique 1 · Durée : 1 h 30 Soient un repère galiléen $R_0(O_0,X_0,Y_0,Z_0)$ fixe (absolu), muni de la base orthonormée directe $(\vec{I}_0,\vec{J}_0,\vec{K}_0)$ et un second repère $R(A,x,y,Z_0)$ mobile (relatif) muni de la base orthonormée directe $(\vec{i},\vec{j},\vec{K}_0)$. Le point $A$ est défini par $\overrightarrow{O_0A}=h(t)\vec{i}$ ($h$ dépend de $t$). Le repère $R$ se déduit de $R_0$ par rotation d’axe $(O_0Z_0)$ et d’angle $\alpha(t)=(\overrightarrow{O_0X_0},\overrightarrow{O_0x})$ (voir figure : $O_0Z_0$ est perpendiculaire au plan de la page et dirigé vers l’observateur, le repère étant direct ; le champ de pesanteur $\vec{g}$ est dirigé suivant $-\vec{J}_0$). Dans le plan $(\vec{i},\vec{j})$, un point matériel $M$, de masse $m$, est défini par $\overrightarrow{AM}=a\vec{u}$ ($a$ constante) ; son mouvement par rapport à $R$ est donné par l’angle $\theta(t)=(\vec{i},\overrightarrow{AM})$. $\vec{u}$ unitaire de $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{v}=\vec{K}_0\wedge\vec{u}$. On suppose que $\dfrac{d\alpha}{dt}$, $\dfrac{d\theta}{dt}$ et $\dfrac{dh}{dt}$ sont des constantes. X 0 Y 0 x y O 0 A M I 0 J 0 i j u v α(t) θ(t) Z 0 : vers l’observateur g Figure : Repère mobile R(A,x,y,Z0) en rotation autour de O0Z0 (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) I. Étude du mouvement du point $A$ Déterminer la vitesse et l’accélération du point $A$ par rapport à $R_0$. Quelle est l’équation, en coordonnées polaires de pôle $O_0$, de la trajectoire de $A$ par rapport à $R_0$ (avec $h(0)=h_0$ et $\alpha(0)=0$) ? Montrer que le rayon de courbure de cette trajectoire est constant si $h$ est une constante. On suppose que l’axe $O_0x$ exerce une réaction $\vec{R}$ sur le point $A$, de masse $m_A$. En appliquant le PFD, déterminer les composantes de $\vec{R}$. II. Étude du mouvement du point $M$ Déterminer la vitesse absolue de $M$ à partir de $\overrightarrow{O_0M}=h\vec{i}+a\vec{u}$. Exprimer les vitesses relative et d’entraînement de $M$ ; en déduire sa vitesse absolue $\vec{V}_a(M)$. Exprimer les accélérations relative, d’entraînement et de Coriolis de $M$ ; en déduire son accélération absolue. Déterminer l’accélération absolue de $M$ à partir de l’expression de $\vec{V}_a(M)$. Cas particulier : $h=L$ constante, $\theta(t)=\omega t$ et $\alpha(t)=-\omega t$ ($\omega$ constante). Quelle est l’équation cartésienne de la trajectoire de $M$ par rapport à $R_0$ ? ↑ Retour au sommaire Mécanique : repère de Frenet, ellipse et circonférence verticale Module : Physique I. Question de cours : Repère de Frenet Montrer que dans le repère de Frenet lié à la particule $P$ $(P,\vec{\tau},\vec{n},\vec{b})$ avec $\vec{b}=\vec{\tau}\wedge\vec{n}$, le vecteur accélération s’écrit sous la forme : $$\vec{\gamma}=\frac{d^2s}{dt^2}\vec{\tau}+\frac{v^2}{\rho}\vec{n}.$$ (Indication : chercher l’orientation du vecteur $\dfrac{d\vec{\tau}}{ds}$.) II. Ellipse Une particule décrit une courbe plane $(C)$ et sa position $M$ à un instant $t$ est repérée dans un système de coordonnées cartésien orthonormé par : $$\overrightarrow{OM}:\quad\begin{cases}x=a\cos\omega t\\y=b\sin\omega t\end{cases}$$ Établir l’équation cartésienne de la trajectoire. Quelle est sa nature ? Déterminer le vecteur vitesse $\vec{v}$ de $M$ à l’instant $t$ quelconque. Calculer numériquement la valeur de son module pour $t=0$ et $t=0{,}5\,\mathrm{s}$. On donne : $a=5\,\mathrm{cm}$, $b=3\,\mathrm{cm}$ et $\omega=\pi\,\mathrm{rad/s}$. Déterminer le vecteur accélération $\vec{\gamma}$ du mobile $M$. Quelle relation existe-t-il entre $\vec{\gamma}$ et $\overrightarrow{OM}$ ? En déduire que le vecteur accélération $\vec{\gamma}$ passe par un point fixe que l’on précisera. En quels points de la trajectoire l’accélération $\vec{\gamma}$ est-elle normale à la trajectoire ? III. Circonférence verticale Un point matériel $M$, de masse $m$, se déplace sans frottement, sur une circonférence $(C)$ de centre $O$ et de rayon $r$, située dans le plan vertical $(xOy)$ d’un référentiel galiléen $R(Oxyz)$, de base orthonormée directe $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. $Ox$ est vertical descendant. La circonférence $(C)$ est fixe dans $xOy$. Le point $M$ est situé du côté extérieur de $(C)$ et on pose l’angle $\beta=(\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{OM})$, orienté dans le sens direct de $(\vec{i},\vec{j})$. a. Établir l’équation différentielle du mouvement de $M$. b. À l’instant $t=0$, $M$ est lancé du point le plus haut de $(C)$ sans vitesse initiale. Déterminer la réaction $\vec{R}$ exercée par $(C)$ sur $M$ en fonction de $m$, $g$ et $\beta$. La circonférence $(C)$ est maintenant animée, autour de l’une de ses tangentes verticales, d’un mouvement de rotation uniforme défini par sa vitesse angulaire $\omega$. On assimile $M$ à un anneau enfilé sur $(C)$ ($\theta$ angle entre $Ox$ et $\overrightarrow{OM}$). En appliquant le PFD, déterminer l’équation différentielle du mouvement de $M$. ↑ Retour au sommaire Mécanique du point matériel : point mobile sur une tige verticale Module : Physique 1 · Durée : 1 h 30 On considère $R_0(O_0,X_0,Y_0,Z_0)$ un repère fixe (absolu) et une tige $[AB]$, de milieu $C$ et de longueur $2a$, reste parallèle à l’axe $O_0Z_0$. On définit le repère relatif $R(C,x,y,z)$ muni de la base orthonormée directe $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ telle que le vecteur $\vec{k}$ reste parallèle à $\vec{K}_0$ et le plan $(\vec{i},\vec{j})$ reste dans le plan horizontal $(O_0X_0Y_0)$. Les vecteurs $\vec{I}_0$ et $\vec{i}$ font un angle $\varphi=\lambda t^2$ où $\lambda$ est une constante et $t$ le temps. On donne $\overrightarrow{O_0C}=R\vec{i}$ où $R$ est une constante positive. Champ de pesanteur $\vec{g}$. Un point matériel $M$ de masse $m$ est animé, le long de cette tige $[AB]$, d’un mouvement tel que $\overrightarrow{CM}=r(t)\vec{k}$ où $r(t)=a\sin\omega t$ avec $a$ et $\omega$ constantes positives. X 0 Y 0 Z 0 x y A B O 0 C M I 0 J 0 K 0 i j k φ = ω t² R r(t) g Figure : Tige verticale [AB] et repère relatif R(C,x,y,z) (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) Sans faire de calcul et pour ce problème : a. Préciser la nature des mouvements relatif et d’entraînement. b. Donner le rayon de courbure de la trajectoire relative et du mouvement d’entraînement. c. Tracer l’allure de la trajectoire absolue de $M$. Déterminer le vecteur $\overrightarrow{O_0M}$ ; en déduire la vitesse et l’accélération absolues de $M$. Donner dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ : a. les vecteurs $\vec{V}_r(M)$ et $\vec{V}_e(M)$ ; en déduire $\vec{V}_a(M)$. b. les vecteurs $\vec{\gamma}_r(M)$, $\vec{\gamma}_e(M)$ et $\vec{\gamma}_c(M)$ ; en déduire $\vec{\gamma}_a(M)$. On suppose que la tige $[AB]$ exerce sur $M$ une réaction $\vec{R}$. Déterminer $\vec{R}$. Déduire la réaction $\vec{R}$ dans le cas où le contact, entre la tige $[AB]$ et $M$, est sans frottement. Dans le cas où $\dot{\varphi}=\omega$ (rotation uniforme) et $r(t)=a$, exprimer le rayon de courbure de la trajectoire absolue de $M$. ↑ Retour au sommaire Mécanique du point : cercle mobile, cinématique et dynamique Module : Physique 1 · Durée : 1 h 30 Dans le plan $(O_0,Y_0,Z_0)$ du repère $R_0(O_0,X_0,Y_0,Z_0)$ fixe (absolu) de base orthonormée $(\vec{I}_0,\vec{J}_0,\vec{K}_0)$, on considère un point $C$, défini par les coordonnées cylindriques $\rho=a$ (constante positive) et l’angle $\varphi(t)=(\overrightarrow{O_0Y_0},\overrightarrow{O_0y})$. On définit le repère relatif $R(C,x,y,z)$ muni de la base orthonormée directe $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ telle que $\vec{j}$ et $\vec{k}$ appartiennent au plan $(O_0,Y_0,Z_0)$ et le vecteur $\vec{j}$ est unitaire de $\overrightarrow{O_0C}$ (voir figure) ; on a $\vec{i}=\vec{I}_0$, dirigé vers l’observateur. Soit un point matériel $M$, de masse $m$, mobile sur le cercle de centre $C$ de rayon $a$ ; la position relative de $M$ est repérée par l’angle $(\vec{j},\overrightarrow{CM})=\theta(t)$. Le vecteur unitaire de $\overrightarrow{CM}$ est $\vec{u}$ tel que $(\vec{u},\vec{v})=\pi/2$. On suppose que $\dfrac{d\varphi}{dt}=\dot{\varphi}$ et $\dfrac{d\theta}{dt}=\dot{\theta}$ sont des constantes. L’accélération de pesanteur $\vec{g}$ est portée par $-\vec{K}_0$. Y 0 Z 0 y z O 0 C M J 0 K 0 j k u v φ θ a a x (i) = X 0 (I 0 ) : vers l’observateur g Figure : Cercle de centre C mobile dans le plan (O0,Y0,Z0) (les vecteurs sont surmontés d’une flèche) I. Cinématique Déterminer les coordonnées cartésiennes $Y_C$ et $Z_C$ de $C$ dans le repère $R_0(\vec{I}_0,\vec{J}_0,\vec{K}_0)$ ; en déduire la nature de la trajectoire absolue de $C$. Déterminer dans la base orthonormée directe $(\vec{u},\vec{v},\vec{i})$ : a. la vitesse et l’accélération du point $C$ par rapport à $R_0$ (vitesse et accélération absolues de $C$) ; b. les vitesses $\vec{V}_r(M)$ et $\vec{V}_e(M)$ ; en déduire $\vec{V}_a(M)$ ; c. les accélérations $\vec{\gamma}_r(M)$, $\vec{\gamma}_e(M)$ et $\vec{\gamma}_c(M)$ ; en déduire $\vec{\gamma}_a(M)$. Déterminer le rayon de courbure $R_c$ de la trajectoire relative de $M$ et de la trajectoire absolue de $C$. II. Dynamique On suppose que le cercle exerce sur $M$ une réaction $\vec{R}$ et la particule $M$ est soumise en plus à une force $\vec{F}=-\lambda\dfrac{d\theta}{dt}\vec{v}$ où $\lambda$ est une constante positive (on néglige le poids de $M$). En projetant, dans la base $(\vec{u},\vec{v},\vec{i})$, le PFD, déduire les composantes de la réaction $\vec{R}$. Que devient la réaction $\vec{R}$ dans le cas où le contact, entre le cercle et $M$, est sans frottement ? ↑ Retour au sommaire Tous les sujets de Mécanique Auteur : Younoussa DIAKITE, Professeur Agrégé de l'enseignement secondaire.