TD d'Analyse 1 en L1 : suites numériques, limites et continuité, avec exercices progressifs et corrigés détaillés pour maîtriser les techniques de calcul.
Université - Analyse
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Module Analyse 1 · Semestre 1 11 sujets · Suites · Continuité · Dérivabilité · TAF · Points fixes · DL
Par Campus BF
Sommaire
Accroissements finis et continuité uniforme
Suites récurrentes et fonctions lipschitziennes
Moyenne arithmético-géométrique et points fixes
Théorème de Rolle et suites récurrentes
Accroissements finis, séries et fonction définie par morceaux
Suites récurrentes, convexité et séries de Riemann
Formule de Mac-Laurin, compacts et étude de suites
Formules classiques, moyenne de Cesàro et lemme de l’escalier
Inégalités, partie entière et monotonie
Accroissements finis, points fixes et limites
Partie entière, topologie de $\mathbb{R}$ et continuité uniforme
Sujet 1 : accroissements finis et continuité uniforme
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Les documents ne sont pas autorisés. Les deux exercices sont indépendants.
Question de cours
i) Énoncer le théorème des accroissements finis.
ii) Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies et continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$. On suppose que pour tout $t\in]a,b[$, $f'(t)\le g'(t)$.
En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $h=f-g$, montrer que pour tout $(x,y)\in[a,b]\times[a,b]$ tel que $x<y$ :
$$f(y)-f(x)\le g(y)-g(x).$$
Exercice
Soit $f$ une fonction numérique définie et continue sur $[0,+\infty[$, dérivable sur $]0,+\infty[$ et telle que $f(0)=0$. On désigne par $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par
$$g(x)=\frac{f(x)}{x}.$$
Montrer que $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et calculer $g'(x)$.
On suppose que la fonction dérivée $f'$ est croissante. Montrer qu’alors la fonction $g$ est également croissante.
Exercice
Soit $f$ une fonction numérique définie sur l’intervalle $[a,b]$, avec $0<a<b$, vérifiant
$$\forall x,y\in[a,b],\ x\neq y,\qquad |f(x)-f(y)|<k\,|x^3-y^3|,$$
où $k$ est une constante réelle strictement positive.
Montrer que la fonction $f$ est uniformément continue sur $[a,b]$.
On définit la fonction $g$ sur $[a,b]$ par $g(x)=f(x)-kx^3$. Montrer que $g$ est strictement monotone sur $[a,b]$.
On suppose dans la suite que $\forall x\in[a,b]$, $ka^3\le f(x)\le kb^3$. Montrer qu’il existe un unique nombre réel $s\in[a,b]$ tel que $g(s)=0$.
Soit $(x_n)_n$ la suite définie par
$$\begin{aligned}x_0&=\alpha\in[a,b]\quad(\alpha\text{ donné}),\\ x_n&=\Bigl(\tfrac1k f(x_{n-1})\Bigr)^{1/3},\quad n\ge1.\end{aligned}$$
Justifier que $x_n\in[a,b]$ pour tout $n$, puis montrer que la suite $(u_n)_n$ définie par $u_n=|x_n^3-s^3|$ est convergente vers un nombre réel $d\ge0$.
Montrer qu’il existe une suite extraite de $(x_n)_n$ qui converge vers le nombre $(s^3+\varepsilon d)^{1/3}$, où $\varepsilon=1$ ou $\varepsilon=-1$.
Montrer que $f\bigl((s^3+\varepsilon d)^{1/3}\bigr)$ prend l’une des valeurs $k(s^3+d)$ ou $k(s^3-d)$.
En déduire que $d=0$. Quelle conclusion peut-on tirer pour la suite $(x_n)_n$ ?
Barème : question de cours : 4 pts ; premier exercice : 4 pts ; second exercice : 12 pts
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Sujet 2 : suites récurrentes et fonctions lipschitziennes
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Les documents ne sont pas autorisés. Les deux exercices sont indépendants.
Question de cours
Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction numérique.
i) Écrire la définition de « $f$ uniformément continue sur $I$ ».
ii) On suppose que $I$ est un segment, c’est-à-dire $I=[a,b]$ avec $a<b$. Montrer que si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est uniformément continue sur $I$.
Exercice
On considère la suite numérique $(u_n)_n$ définie par
$$u_0\ge0,\qquad u_{n+1}=u_n(u_n-1)^2\quad(n\in\mathbb{N}).$$
Étudier sur $[0,+\infty[$ les variations de la fonction $f$ définie par $f(x)=x(x-1)^2$.
Déterminer l’ensemble $J=f([0,2])$.
Étudier la suite $(u_n)_n$ pour $u_0=0$ et pour $u_0=2$.
On suppose $0<u_0<2$.
Montrer que la suite $(u_n)_n$ est convergente.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_n$ puis, lorsque $u_n\neq0$ pour tout $n$, calculer $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
On suppose $u_0>2$ et on pose $u_0=2+\alpha$ avec $\alpha>0$.
Montrer par récurrence que pour tout $n\ge1$ :
$$u_n>2+\alpha\quad\text{et}\quad u_n\ge u_0(1+\alpha)^{2n}.$$
Calculer la limite de la suite $(u_n)_n$.
Exercice
Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$. On rappelle que $f$ est lipschitzienne sur $I$ s’il existe $k>0$ tel que
$$\forall(x,y)\in I^2,\qquad |f(y)-f(x)|\le k\,|y-x|.$$
Montrer que si $f$ est lipschitzienne sur $I$, alors $f$ est uniformément continue sur $I$.
On suppose $f$ dérivable sur $I$.
Montrer que si $f$ est lipschitzienne, alors $f'$ est bornée sur $I$.
Réciproquement, montrer que si $f'$ est bornée sur $I$, alors $f$ est lipschitzienne.
On considère la suite $(v_n)_n$ définie par
$$v_0=1,\qquad v_{n+1}=\frac{v_n}{2}+\frac{\cos(v_n)}{3}\quad(n\in\mathbb{N}).$$
Soit $g(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\cos x}{3}$. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $|g'(x)|\le k$, avec $0<k<1$.
En déduire que $g$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
Montrer que la suite $(v_n)_n$ est une suite de Cauchy. Que peut-on en conclure ?
Barème : question de cours : 4 pts ; premier exercice : 8 pts ; second exercice : 9 pts
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Sujet 3 : moyenne arithmético-géométrique et points fixes
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Les documents ne sont pas autorisés. Les deux exercices sont indépendants.
Question de cours
i) Énoncer le théorème des accroissements finis.
ii) Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies et continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$. On suppose que pour tout $t\in]a,b[$, $f'(t)\le g'(t)$.
En appliquant le théorème des accroissements finis à $h=f-g$, montrer que pour tout $(x,y)\in[a,b]\times[a,b]$ tel que $x<y$ :
$$f(y)-f(x)\le g(y)-g(x).$$
Exercice
Montrer que pour tous nombres réels positifs $a$ et $b$ :
$$2\sqrt{ab}\le a+b.$$
Soient $a\ge0$ et $b\ge0$. On considère les suites à termes positifs $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ définies par
$$\begin{aligned}u_0&=a, & v_0&=b,\\ u_{n+1}&=\sqrt{u_nv_n}, & v_{n+1}&=\frac{u_n+v_n}{2}\quad(n\in\mathbb{N}).\end{aligned}$$
Montrer que pour tout $n\ge1$ :
$$u_n\le v_n,\qquad u_n\le u_{n+1},\qquad v_{n+1}\le v_n.$$
Montrer que les deux suites sont convergentes et qu’elles ont la même limite $\ell$.
On note $M(a,b)=\ell$.
Calculer $M(a,a)$ et $M(a,0)$ pour $a\ge0$.
Montrer que pour tout $\lambda\in\mathbb{R}^+$, $M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b)$.
Exercice
I/ Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to[a,b]$.
a) On suppose que $\forall(x,y)\in[a,b]^2$, $|f(x)-f(y)|\le|x-y|$.
Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$.
Montrer qu’il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=c$.
b) On suppose maintenant que $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ pour tous $x\neq y$ de $[a,b]$. Montrer qu’il existe un unique $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=c$.
II/ Soit $f:[0,2]\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\ln(2+x^2)$.
Étudier les variations de $f'$ sur $I=[0,2]$.
On pose $M=\sup_{x\in I}|f'(x)|$. Montrer que $0<M<1$.
Montrer que $f([0,2])\subset[0,2]$.
En déduire qu’il existe un unique $\tilde{x}\in[0,2]$ tel que $f(\tilde{x})=\tilde{x}$.
Montrer que $f$ est injective.
On définit la suite $(x_n)_n$ par $x_0\in[0,2]$ et $x_{n+1}=f(x_n)$.
Montrer que si $x_0\neq\tilde{x}$, alors $x_n\neq\tilde{x}$ pour tout $n\ge0$.
Montrer que $\dfrac{|x_{n+1}-\tilde{x}|}{|x_n-\tilde{x}|}\le M$ pour tout $n$ tel que $x_n\neq\tilde{x}$.
En déduire que pour tout $x_0\in[0,2]$, la suite $(x_n)_n$ converge vers $\tilde{x}$.
On donne : $0{,}69<\ln2<0{,}70$ et $1{,}79<\ln6<1{,}80$.
Barème : question de cours : 4 pts ; premier exercice : 6 pts ; second exercice : partie I 3,5 pts, partie II 7,5 pts
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Sujet 4 : théorème de Rolle et suites récurrentes
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Les documents ne sont pas autorisés. Les trois exercices sont indépendants.
Question de cours
i) Énoncer le théorème de Rolle.
ii) On rappelle que si $f$ est dérivable sur $]a,b[$ et admet un extremum local en $c\in]a,b[$, alors $f'(c)=0$. Utiliser ce résultat pour démontrer le théorème de Rolle.
Exercice
On considère les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ définies par
$$\begin{aligned}u_0&=1, & v_0&=2,\\ u_{n+1}&=\frac{u_n+v_n}{2}, & v_{n+1}&=\frac{u_{n+1}+v_n}{2}\quad(n\in\mathbb{N}).\end{aligned}$$
Montrer qu’il existe $k\in]0,1[$ tel que $\forall n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}-u_{n+1}=k\,(v_n-u_n)$.
Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n<v_n$.
Montrer que les deux suites sont convergentes.
On pose $w_n=v_n-u_n$ et $s_n=\sum_{m=0}^{n}w_m$. Déterminer $w_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
Montrer que $u_{n+1}=u_n+\frac12 w_n$, puis exprimer $s_n$ en fonction de $u_n$, de $w_0$ et de $n$. En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_n$.
Exercice
Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. On définit
$$h(x)=\bigl(f(b)-f(a)\bigr)x^3-(b^3-a^3)f(x).$$
Montrer que $h$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$.
Calculer $h'(x)$.
Calculer $h(a)$ et $h(b)$.
Montrer qu’il existe $c\in]a,b[$ tel que
$$3c^2\bigl(f(b)-f(a)\bigr)=(b^3-a^3)\,f'(c).$$
Exercice
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ une fonction positive et croissante vérifiant $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac12$. On considère la suite $(u_n)_n$ définie par $u_0>0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Montrer que la suite est monotone : croissante ou décroissante suivant le signe de $u_1-u_0$.
Montrer qu’il existe $A>0$ tel que $\forall x>A$, $f(x)<\dfrac34x$. En déduire que si la suite est croissante, elle est majorée.
Montrer que la suite $(u_n)_n$ est convergente.
Barème : question de cours : 4 pts ; premier exercice : 7 pts ; deuxième exercice : 5 pts ; troisième exercice : 5 pts
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Sujet 5 : accroissements finis, séries et fonction définie par morceaux
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Les documents ne sont pas autorisés. Les deux exercices sont indépendants.
Question de cours
i) Énoncer le théorème des accroissements finis.
ii) En utilisant le théorème de Rolle, donner une preuve du théorème des accroissements finis.
Exercice
Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant :
$f(0)=0$ ;
pour tout $x>0$, $f(x)\ge x$.
Montrer que $f'(0)\ge1$.
Soit $\delta>0$. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer qu’il existe $c_\delta\in]0,\delta[$ tel que $f'(c_\delta)\ge1$.
En déduire qu’il existe une suite $(u_n)_{n\ge1}$ telle que
$$\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad u_n>0,\qquad\lim_{n\to\infty}u_n=0\qquad\text{et}\qquad f'(u_n)\ge1.$$
Soit $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dérivable, telle que $h(0)=0$ et $h'(x)\ge1$ pour tout $x>0$.
Montrer que $h$ vérifie la condition (ii) ci-dessus.
Application : en déduire que pour tout $x>0$, $\mathrm{e}^x-1\ge x$.
Exercice
I/
Pour $n\ge1$, on pose $u_n=\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\Bigr)$.
Simplifier $u_n$.
Montrer que $(u_n)_n$ est convergente.
Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. On considère $v_n=\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\Bigr)\sin(k\alpha)$. Montrer, à l’aide du critère de Cauchy, que $(v_n)_n$ est convergente.
II/ Soit $\alpha\in\mathbb{R}$. On considère les fonctions $f$ définies sur $]0,1]$ telles que :
$f(1)=1$ ;
pour tout entier $k\ge1$ et pour tout $x\in\bigl]\dfrac1{k+1},\dfrac1k\bigr]$, $f(x)=x\sin(k\alpha)+C_k$, où $C_k\in\mathbb{R}$.
Montrer qu’il existe une unique fonction de ce type continue sur $]0,1]$. On la note $g$.
Déterminer $C_1,C_2,C_3,C_4$ pour $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$.
Montrer que la suite $w_n=g\bigl(\dfrac1n\bigr)$ est convergente. Indication : calculer $g\bigl(\frac1{n+1}\bigr)-g\bigl(\frac1n\bigr)$.
Soit $\ell=\lim_{n\to\infty}w_n$. Montrer que $g$ admet pour limite $\ell$ lorsque $x\to0^+$. Indication : pour $x\in\bigl]\frac1{n+1},\frac1n\bigr]$, comparer $g(x)$ et $g\bigl(\frac1n\bigr)$. Que peut-on dire du prolongement de $g$ en $0$ ?
Barème : question de cours : 4 pts ; premier exercice : 7 pts ; second exercice : 10 pts
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Sujet 6 : suites récurrentes, convexité et séries de Riemann
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 1 h 30
Les trois exercices sont indépendants.
Question de cours
Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts de $\mathbb{R}$, et $f:I\to\mathbb{R}$, $g:J\to\mathbb{R}$ telles que $f(I)\subset J$. On suppose $f$ continue sur $I$ et $g$ continue sur $J$. Montrer que $g\circ f$ est continue sur $I$.
Exercice
On considère la suite $(x_n)_n$ définie par $x_1=1$ et $x_{n+1}=\sqrt{12+x_n}$ pour tout $n\ge1$.
Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $0<x_n<4$.
Montrer que la suite $y_n=4-x_n$ vérifie $0<y_{n+1}<\dfrac{y_n}{4}$.
Montrer que $(y_n)_n$ est convergente et déterminer sa limite.
En déduire que $(x_n)_n$ est convergente et calculer $\ell=\lim_{n\to\infty}x_n$.
Montrer que $\ell$ est l’unique solution dans $[0,+\infty[$ de l’équation $x=\sqrt{12+x}$.
Exercice
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0,1]$, de classe $C^1$ sur $[0,1]$ et deux fois dérivables sur $]0,1[$, telles que :
$f(0)=g(0)$ et $f(1)=g(1)$ ;
$\forall x\in]0,1[$, $f''(x)\le g''(x)$.
On pose $h(x)=g(x)-f(x)$.
Montrer que $h'$ est croissante sur $[0,1]$.
Montrer qu’il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que $h'(\alpha)=0$.
Montrer que $\forall x\in[0,1]$, $g(x)\le f(x)$.
Exercice
Soit $\alpha>1$ un réel fixé.
En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $t\mapsto t^{1-\alpha}$ sur $[x,x+1]$, montrer que pour tout $x>0$ :
$$\frac{\alpha-1}{(x+1)^{\alpha}}\le\frac{1}{x^{\alpha-1}}-\frac{1}{(x+1)^{\alpha-1}}.$$
On considère la suite $v_n(\alpha)=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{\alpha}}$. En remplaçant $x$ par $1,2,\ldots,n-1$ et en sommant, montrer que $(v_n(\alpha))_n$ est convergente.
Barème : question de cours : 3 pts ; premier exercice : 7 pts ; deuxième exercice : 6 pts ; troisième exercice : 5 pts
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Sujet 7 : formule de Mac-Laurin, compacts et étude de suites
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 3 heures
Les documents ne sont pas autorisés. Les trois exercices sont indépendants.
Question de cours : formule de Mac-Laurin
Soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur un intervalle $I$ contenant $0$ et telle que $f^{(n)}$ soit continue en $0$.
i) Écrire la formule de Mac-Laurin (avec reste de Lagrange) à l’ordre $n-1$ pour $f$.
ii) Montrer que $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ au voisinage de $0$.
Question de cours : compacts
i) Donner la définition d’un ensemble compact $K\subset\mathbb{R}$.
ii) Soit $f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue sur $E$ et soit $K\subset E$ compact. Montrer que $f(K)$ est compact.
Exercice
Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ ($a<b$), deux fois dérivable sur $]a,b[$, avec $f'$ continue sur $[a,b]$. On définit, pour $x\in[a,b]$,
$$\begin{aligned}g(x)&=\frac{f(x)+f(a)}{2}-f\Bigl(\frac{a+x}{2}\Bigr)\\ &\quad-\frac{\alpha}{8}(x-a)^2,\end{aligned}$$
où $\alpha\in\mathbb{R}$ est choisi de sorte que $g(b)=0$.
Montrer qu’il existe $d\in]a,b[$ tel que
$$f'(d)-f'\Bigl(\frac{d+a}{2}\Bigr)=\frac{\alpha}{2}(d-a).$$
En appliquant le théorème des accroissements finis à $f'$ sur l’intervalle $\bigl[\frac{a+d}{2},d\bigr]$, montrer qu’il existe $c\in\bigl]\frac{a+d}{2},d\bigr[$ tel que $f''(c)=\alpha$.
En déduire qu’il existe $c\in]a,b[$ tel que
$$\frac{f(a)+f(b)}{2}=f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr)+\frac{(b-a)^2}{8}\,f''(c).$$
Exercice
Soit $a>1$. On considère $f(x)=\ln(1+ax)$ et $g(x)=f(x)-x$ pour $x\in\bigl]-\dfrac1a,+\infty\bigr[$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\frac1a^{+}}g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)$.
Calculer $g'(x)$.
En déduire les variations de $g$.
Montrer que $\ln a>\dfrac{a-1}{a}$.
En déduire que l’équation $f(x)=x$ admet exactement deux solutions dans $\bigl]-\dfrac1a,+\infty\bigr[$ : le réel $0$ et un réel $c_1>0$.
On considère la suite $(u_n)_n$ définie par $u_0>-\dfrac1a$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Cas $u_0\in[0,c_1]$ :
Montrer que $f([0,c_1])=[0,c_1]$.
Étudier les cas $u_0=0$ et $u_0=c_1$.
Montrer que si $u_0\in]0,c_1[$, la suite est croissante et majorée.
En déduire que la suite converge vers $c_1$.
Cas $u_0>c_1$ : montrer que la suite est décroissante et minorée, donc convergente, et calculer sa limite.
Exercice
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ une fonction positive et croissante avec $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac12$. On définit $u_0>0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Montrer que la suite est monotone, suivant le signe de $u_1-u_0$.
Montrer qu’il existe $A>0$ tel que $\forall x>A$, $f(x)<\dfrac34x$. En déduire que si la suite est croissante, elle est majorée.
Montrer que la suite $(u_n)_n$ est convergente.
Barème : question de cours (Mac-Laurin) : 2 pts ; question de cours (compacts) : 3 pts ; premier exercice : 5 pts ; deuxième exercice : 7 pts ; troisième exercice : 4 pts
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Sujet 8 : formules classiques, moyenne de Cesàro et lemme de l’escalier
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 3 heures
Questions de cours
Question 1. Énoncer correctement :
la formule du binôme de Newton ;
la formule de Leibniz ;
la formule de Taylor-Young.
Question 2. Retrouver la formule du binôme de Newton :
en appliquant la formule de Taylor à $P(x)=(1+x)^n$ ;
en utilisant la formule de Leibniz.
Question 3.
Montrer par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que la dérivée $n$-ième de :
$\cos x$ est $\cos\bigl(x+n\frac{\pi}{2}\bigr)$ ;
$\sin x$ est $\sin\bigl(x+n\frac{\pi}{2}\bigr)$.
En déduire les développements limités à l’ordre $n$ au voisinage de $0$ de $\cos x$ et de $\sin x$.
Question 4. Pour une partie $A$ de $\mathbb{R}$, on note $A^c=\mathbb{R}\setminus A$. Montrer que pour toutes parties $A$ et $B$ de $\mathbb{R}$ :
$\bigl(\overline{A}\bigr)^c=\operatorname{int}(A^c)$ ;
$\bigl(\operatorname{int}(B)\bigr)^c=\overline{B^c}$.
Question 5.
Montrer que pour tous réels $x_1,\ldots,x_n$ :
$$\mathrm{e}^{\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}}\le\frac{\mathrm{e}^{x_1}+\cdots+\mathrm{e}^{x_n}}{n}.$$
En déduire que pour tous réels strictement positifs $y_1,\ldots,y_n$ :
$$\sqrt[n]{y_1\cdots y_n}\le\frac{y_1+\cdots+y_n}{n}.$$
Problème
Partie I : moyenne de Cesàro
Soit $(u_n)_{n\ge1}$ une suite réelle et $v_n=\dfrac1n(u_1+\cdots+u_n)$.
Montrer que si $u_n\to\ell\in\mathbb{R}$, alors $v_n\to\ell$.
Avec $u_n=(-1)^n$, montrer que la réciproque de 1. est fausse.
Montrer que si $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$.
Avec $u_n=n\bigl(1+(-1)^n\bigr)$, montrer que la réciproque de 3. est fausse.
Montrer que si $(u_n)_n$ est monotone et si $v_n\to\ell\in\mathbb{R}$, alors $u_n\to\ell$.
Partie II : lemme de l’escalier
Montrer que si $u_{n+1}-u_n\to\ell\in\mathbb{R}$, alors $\dfrac{u_n}{n}\to\ell$.
On suppose $u_n>0$ pour tout $n$. Montrer que si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\to\ell>0$, alors $\sqrt[n]{u_n}\to\ell$.
Application : déterminer les limites des suites suivantes.
$\displaystyle\binom{2n}{n}^{1/n}$ ;
$\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ ;
$\dfrac1n\sqrt[n]{n(n+1)\cdots(2n)}$ ;
$\dfrac1n\sqrt[n]{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}$ ;
$\dfrac1{n^2}\sqrt[n]{\dfrac{(3n)!}{n!}}$.
Soit $(u_n)_n$ une suite de réels non nuls telle que $\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|\to\ell$. Établir :
si $\ell<1$, alors $u_n\to0$ ;
si $\ell>1$, alors $|u_n|\to+\infty$ ;
que peut-on dire si $\ell=1$ ? (On pourra considérer des exemples.)
Partie III : étude de quelques suites
Pour $n\ge2$, soient
$$u_n=\prod_{k=2}^{n}\cos\frac{\pi}{2^k},\qquad v_n=u_n\sin\frac{\pi}{2^n}.$$
Montrer que $(v_n)_n$ est une suite géométrique et en déduire $\lim_{n\to\infty}u_n$.
Soit $a>0$ et soit $f$ une fonction continue de $[0,a]$ dans $\mathbb{R}^+$. On considère la suite définie par
$$u_0\ge\frac1a,\qquad u_{n+1}=u_n+f\Bigl(\frac1{u_n}\Bigr).$$
Montrer que la suite est bien définie, croissante et minorée par $\frac1a$. Montrer que si elle converge vers $L$, alors $f\bigl(\frac1L\bigr)=0$. En déduire que si $f$ ne s’annule pas sur $[0,a]$, alors $u_n\to+\infty$.
On suppose que $u_n\to+\infty$. Montrer que $v_n=\dfrac{u_n}{n}$ converge vers $f(0)$.
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Sujet 9 : inégalités, partie entière et monotonie
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 3 heures
On note $E(x)$ la partie entière du réel $x$.
Exercice
Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que pour tous réels $x_1,\ldots,x_n>0$,
$$(x_1+\cdots+x_n)\Bigl(\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}\Bigr)\ge n^2,$$
et que cette valeur est atteinte. Autrement dit, le minimum de cette expression est $n^2$.
Exercice
Déterminer les réels strictement positifs $x$ tels que
$$x^{\left(x^{x}\right)}=\left(x^{x}\right)^{x}.$$
Soient $x\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}^*$.
Montrer que $0\le E(nx)-nE(x)\le n-1$.
En déduire que $E\Bigl(\dfrac{E(nx)}{n}\Bigr)=E(x)$.
Exercice
Étudier la fonction $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$.
En déduire les couples $(a,b)$ d’entiers tels que $2\le a<b$ et $a^b=b^a$.
Déduire de la question 1. lequel des deux nombres $\mathrm{e}^\pi$ et $\pi^\mathrm{e}$ est le plus grand.
Exercice
Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $a$ un point intérieur à $I$ (c’est-à-dire distinct des extrémités de $I$), et $f$, $g$ deux fonctions dérivables sur $I$ telles que $f(a)=g(a)$ et
$$\forall x\in I,\qquad f(x)+x\le g(x)+a.$$
Montrer que $g'(a)-f'(a)=1$.
Exercice
Soit $(u_n)_n$ une suite réelle de premier terme $u_0\in\mathbb{R}$ quelconque, vérifiant $u_{n+1}=\dfrac12\cos(u_n)$.
Démontrer qu’il existe un unique $l\in[0,1]$ tel que $l=\dfrac12\cos l$.
Montrer que $u_n\to l$.
Exercice
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ continue sur $I$. Montrer l’équivalence :
$$f\text{ est strictement monotone sur }I\iff f\text{ est injective sur }I.$$
Question 1. Montrer que si $f$ est strictement monotone, alors $f$ est injective.
Question 2. On suppose $f$ injective. On fixe $a<b$ dans $I$ avec $f(a)<f(b)$. Pour $x<y$ dans $I$ et $t\in[0,1]$, on pose
$$g(t)=f\bigl((1-t)b+ty\bigr)-f\bigl((1-t)a+tx\bigr).$$
Montrer que $g$ est continue sur $[0,1]$ et ne s’annule pas.
Déterminer le signe de $g(0)$, puis celui de $g(1)$.
En déduire que $f$ est strictement croissante.
Que peut-on dire si $f(a)>f(b)$ ?
Barème : 2 pts ; 3 pts ; 4 pts ; 2 pts ; 4 pts ; 5 pts
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Sujet 10 : accroissements finis, points fixes et limites
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 3 heures
Problème
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point, et $\operatorname{int}(I)$ son intérieur. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I$ et dérivables sur $\operatorname{int}(I)$.
Démontrer le théorème des accroissements finis : pour tout $(a,b)\in I^2$ avec $a<b$, il existe $c\in]a,b[$ tel que
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).$$
Montrer que si $\forall t\in\operatorname{int}(I)$, $f'(t)\le g'(t)$, alors pour tout $(x,y)\in I^2$ avec $x<y$ :
$$f(y)-f(x)\le g(y)-g(x).$$
On suppose $I=[a,b]$ avec $a<b$. Montrer que si $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f'(x)$ existe et est finie, alors $f$ est dérivable à droite en $a$. Que dire si $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f'(x)$ existe et est finie ?
On suppose que $k=\sup\{|f'(t)|:t\in\operatorname{int}(I)\}\in\mathbb{R}$. Montrer que
$$\forall(x,y)\in I^2,\qquad |f(y)-f(x)|\le k\,|y-x|.$$
On suppose que $0\in\operatorname{int}(I)$ et que $f'$ est continue en $0$. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que $f$ admet un développement limité d’ordre $1$ en $0$.
Soit $f:I\to I$ de classe $C^1$ et soit $\alpha\in I$ un point fixe de $f$ tel que $|f'(\alpha)|<1$. Montrer qu’il existe $r>0$ tel que, pour tout $\theta\in]\alpha-r,\alpha+r[\,\cap I$, la suite définie par $u_0=\theta$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $\alpha$.
Montrer que l’équation $\ln(2+x-x^2)=x$ admet une unique solution $\alpha\in[0,1]$. En déduire, à l’aide de la question 4., que la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\ln(2+u_n-u_n^2)$ converge vers $\alpha$.
Soit $f:I\to I$ de classe $C^1$ et soit $(u_n)_n$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, non stationnaire et convergeant vers $\ell\in I$. Montrer que $|f'(\ell)|\le1$.
Montrer que pour tout $x\ge0$ :
$$0\le x-\ln(1+x)\le\frac{x^2}{2}.$$
En déduire $\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n$, où
$$u_n=\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+\frac{k}{n^2}\Bigr).$$
On rappelle que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Déterminer
$$\lim_{x\to+\infty}\Bigl((x+1)^{1+\frac1{x+1}}-x^{1+\frac1x}\Bigr).$$
Exercice complémentaire
Montrer qu’une suite réelle est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.
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Sujet 11 : partie entière, topologie de $\mathbb{R}$ et continuité uniforme
Module : Analyse 1 · Semestre 1 · Durée : 3 heures
On note $E(x)$ la partie entière du réel $x$.
Exercice
Soit $x$ un réel.
Déterminer
$$\lim_{n\to\infty}u_n(x),\qquad\text{où}\quad u_n(x)=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n}E(kx).$$
En déduire que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
Exercice
Montrer que la suite récurrente suivante est de Cauchy :
$$u_1=1,\qquad u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+\frac1{2^n}}\quad(n\ge1).$$
Exercice
Soient $A,B\subset\mathbb{R}$. On note $\overline{A}$ et $\operatorname{int}(A)$ la fermeture et l’intérieur de $A$.
Si $A$ est non vide et majoré, montrer que :
$\sup(A)\in\overline{A}$ ;
si $A$ est fermé, alors $\sup(A)\in A$.
Si $A\subset B$, montrer que $\overline{A}\subset\overline{B}$ et $\operatorname{int}(A)\subset\operatorname{int}(B)$.
Montrer que $\overline{A\cap B}\subset\overline{A}\cap\overline{B}$ et $\operatorname{int}(A\cup B)\supset\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)$.
Montrer que $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ et $\overline{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$.
Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, montrer que $f\bigl(\overline{A}\bigr)\subset\overline{f(A)}$ et $\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}\bigl(\overline{B}\bigr)$.
Exercice
Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ vérifiant $f\bigl(f(x)\bigr)=-x$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. Démontrer que $f$ n’est pas continue.
Exercice
Montrer que si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $f'$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur $I$.
Exercice
Montrer que les fonctions $x\mapsto\ln(1+x)$, $x\mapsto\ln(1+x^2)$ et $x\mapsto\arctan x$ sont uniformément continues sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, l’équation $x-E(x)=\dfrac1x$ admet une unique solution $x_n\in[n,n+1[$. Montrer que
$$x_n=n+\frac1n-\frac1{n^3}+o\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr).$$
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