TD Thermodynamique

Université — Physique Thermodynamique Exercices — Machines thermiques Enseignant : Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de l'Enseignement secondaire Sommaire Exercice 1 — Moteur cyclique ditherme Exercice 2 — Réfrigérateur cyclique ditherme Exercice 4 — Pompe à chaleur cyclique ditherme Exercice 5 — Moteur à explosions : cycle de Beau de Rochas Exercice 6 — Moteur quasicyclique entre deux pseudo-sources Exercice 7 — Machine frigorifique Exercices — Machines thermiques On considère un système thermodynamique fermé \((\Sigma)\) qui, décrivant cycliquement au cours de chaque cycle, reçoit un transfert thermique \(Q_C\) d'une source chaude à la température \(T_C\) et cède un transfert thermique \(Q_F\) à une source froide à la température \(T_F\) (ou inversement selon le type de machine). On rappelle qu'aucune évolution cyclique ne peut réaliser à elle seule le transfert de chaleur d'une source froide à une source chaude (énoncé de Clausius), ni la conversion intégrale de chaleur en travail pour un moteur monotherme (énoncé de Kelvin). Exercice 1 — Étude théorique du moteur cyclique ditherme Dans le cas du moteur, le système \((\Sigma)\) reçoit un transfert thermique de la source chaude, cède un transfert thermique à la source froide, et cède du travail à l'extérieur. Définir le rendement du moteur comme le rapport de l'énergie utile (le travail fourni à l'extérieur) sur l'énergie coûteuse (le transfert thermique reçu de la source chaude \(Q_C\)). Montrer que ce rendement s'écrit \(r = 1 - \dfrac{T_F}{T_C}\) dans le cas d'une machine réversible. Calculer le rendement maximal (rendement de Carnot) obtenu dans le cas d'une machine réversible pour \(T_C = 1500\ \text{K}\) et \(T_F = 300\ \text{K}\). Donner l'allure du cycle dans un diagramme entropique \((T, S)\) (cycle de Carnot). Exercice 2 — Étude théorique du réfrigérateur cyclique ditherme Dans le cas du réfrigérateur, le système \((\Sigma)\) reçoit un transfert thermique de la source froide. Montrer alors que le système reçoit un travail qui lui permet de recevoir un transfert thermique de la source froide et de céder un transfert thermique à la source chaude. Montrer que l'efficacité vérifie \(e \leq \dfrac{T_F}{T_C - T_F}\). Calculer l'efficacité maximale obtenue dans le cas d'une machine réversible pour \(T_C = 293\ \text{K}\) et \(T_F = 268\ \text{K}\). Donner l'allure du cycle dans un diagramme \((T, S)\) et comparer à celui du moteur ditherme. Exercice 4 — Étude théorique de la pompe à chaleur cyclique ditherme Dans le cas de la pompe à chaleur, le système \((\Sigma)\) cède un transfert thermique à la source chaude. Montrer alors que le système reçoit un travail qui lui permet de recevoir un transfert thermique de la source froide et de céder un transfert thermique à la source chaude, sachant que les pompes à chaleur sont conçues de telle sorte que \(|Q_C| > W\). Quelle est la différence avec un réfrigérateur ? Montrer que \(e \leq \dfrac{T_C}{T_C - T_F}\). Calculer l'efficacité maximale obtenue dans le cas d'une machine réversible pour \(T_C = 290\ \text{K}\) et \(T_F = 278\ \text{K}\). Exercice 5 — Modélisation du moteur à explosions : cycle de Beau de Rochas On peut décomposer un cycle de fonctionnement du moteur à explosion en quatre phases successives correspondant chacune à un aller simple du piston (premier diagramme) : 1 er temps : admission AB 2 e temps : compression BC 3 e temps : explosion et détente CDE 4 e temps : échappement EA Afin de pouvoir exprimer le rendement thermodynamique du moteur à explosion, on adopte le modèle suivant : Le mélange initial air-carburant et les gaz d'échappement sont assimilés à un même gaz parfait de coefficient isentropique \(\gamma = 1{,}40\). Le gaz ne subit aucune évolution chimique. La chaleur dégagée par la combustion du carburant dans l'air est supposée fournie par une source chaude fictive. le premier diagramme est remplacé par le deuxième diagramme. Commenter. En remarquant que les travaux au cours des évolutions AB et BA se compensent, on peut ne considérer que les étapes BC, CD, DE, EB où le gaz contenu dans le cylindre est un système fermé \((\Sigma)\) évoluant au contact de deux sources de chaleur (la source chaude fictive et l'atmosphère). Tout se passe comme si \((\Sigma)\) décrivait indéfiniment le cycle du troisième diagramme appelé cycle de Beau de Rochas. Les trois diagrammes de Clapeyron du cycle moteur : cycle complet, cycle simplifié, puis cycle de Beau de Rochas. Exprimer l'efficacité thermodynamique \(e\) en fonction du transfert thermique \(Q_C\) échangé au cours de l'évolution CD et du transfert thermique \(Q_F\) échangé au cours de l'évolution EB. Exprimer \(e\) en fonction de \(T_B\), \(T_C\), \(T_D\) et \(T_E\). Exprimer \(e\) en fonction du taux de compression \(a = \dfrac{V_{max}}{V_{min}}\) et de \(\gamma\). Application numérique : \(a = 3\), \(a = 6\), \(a = 12\). Pour comparer \(e\) à l'efficacité de Carnot, il faut connaître la température \(T_C^{*}\) de la source fictive. Nous prendrons la température maximale atteinte au cours du cycle, soit \(T_D\). On donne \(q_C = 2000\ \text{kJ.kg}^{-1}\) et \(R = 8{,}314\ \text{J.K}^{-1}\text{.mol}^{-1}\). Exercice 6 — Moteur quasicyclique entre deux pseudo-sources Un moteur ditherme réversible fonctionne entre une pseudo-source chaude constituée d'eau liquide de capacité thermique \(C = 4{,}18\ \text{kJ.K}^{-1}\) et de température initiale \(T_{01} = 320\ \text{K}\), et une pseudo-source froide constituée d'eau liquide de température initiale \(T_{02} = 280\ \text{K}\) ; il est constitué d'un corps pur formant un système fermé \((\Sigma)\). On note \(T_1(t)\) et \(T_2(t)\) les températures des deux pseudo-sources à un instant \(t\) quelconque. Entre les instants \(t\) et \(t+dt\) proches, le système \((\Sigma)\) constitue approximativement un moteur cyclique ditherme fonctionnant entre les sources chaude à température \(T_1(t)\) et froide à température \(T_2(t)\) : \((\Sigma)\) reçoit un travail algébrique \(\delta W\) et des transferts thermiques algébriques \(\delta Q_1\) et \(\delta Q_2\) ; simultanément les températures des pseudo-sources varient de \(dT_1\) et \(dT_2\). En écrivant les deux principes de la thermodynamique, déterminer la température finale des pseudo-sources, le travail total \(W\) et le transfert total \(Q_1\) fourni par la source chaude à \((\Sigma)\). Calculer l'efficacité thermodynamique globale et commenter. Exercice 7 — Machine frigorifique Une machine frigorifique idéale fonctionne entre une source froide constituée par une masse \(m_0 = 10\ \text{kg}\) d'eau de température initiale \(t_0 = 10\ °\text{C}\) et l'atmosphère de température constante \(t_0\). Elle est alimentée par une puissance \(\mathcal{P} = 500\ \text{W}\). Déterminer le temps nécessaire de fonctionnement de la machine pour que l'eau commence à se congeler (\(t_1 = 0\ °\text{C}\)). On donne la capacité thermique massique de l'eau liquide \(c = 4{,}18\ \text{kJ.K}^{-1}\text{.kg}^{-1}\). Calculer la durée supplémentaire pour que toute l'eau soit sous forme de glace. On donne la chaleur latente de liquéfaction à \(t_1 = 0\ °\text{C}\) : \(L_1 = 333\ \text{kJ.kg}^{-1}\). ↑ Retour au sommaire Thermodynamique — Younoussa DIAKITE, Professeur agrégé de l'Enseignement secondaire