Fiche révision : Thermodynamique
Fiches 24 à 29
CPGE / MPSI / MP
Fiche 24 : Contact thermique
Le contact thermique est la mise en contact d'un système avec un thermostat. Le bilan entropique montre qu'il est possible d'approximer cette transformation par une transformation réversible nécessitant un opérateur extérieur.
1) Ce qu'il faut retenir
Un solide incompressible et indilatable (masse $m$, capacité thermique massique $c$ constante) initialement à $T_I$ est mis en contact avec un thermostat à $T_0$ et atteint l'équilibre à $T_F = T_0$.
En posant $x = T_I/T_0$ :
- $T_I = T_0$ : $S_{créée}=0$, transformation réversible (cas du thermostat lui-même)
- $T_I \neq T_0$ : $S_{créée}>0$, transformation irréversible ; $S_{créée}$ augmente avec $|T_I-T_0|$
2) En pratique
En pratique
Une mole de gaz parfait monoatomique dans un cylindre (piston sans masse ni frottement), en contact avec l'atmosphère (thermostat $T_0=300$ K, réservoir $p_0=10^5$ Pa). État initial (piston bloqué) : $p_I=0{,}5\times10^5$ Pa.
Transformation (1) : on enlève la cale, le gaz évolue librement vers l'état final $p_F=p_0$, $T_F=T_0$ :
$T_I=T_F=T_0$, donc $\Delta U=0$, donc $Q=-W=p_0(V_F-V_I)$, soit $Q=-2{,}49$ kJ. La variation d'entropie $\Delta S = -R\ln(p_F/p_I)$, soit $\Delta S=-5{,}76\,\text{J.K}^{-1}$ (le système est plus ordonné après compression).
Transformation (2) : même états (I) et (F), mais isotherme quasistatique (opérateur déplaçant lentement le piston) :
Fiche 25 : Détentes de gaz
Les détentes de Joule–Gay Lussac et de Joule–Kelvin (Thomson) sont des exemples de transformations irréversibles qui ne peuvent pas être approximées par une transformation réversible. La détente de Joule-Kelvin est utilisée pour liquéfier certains gaz.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Détente de Joule–Gay Lussac
Récipient à parois fixes, rigides, calorifugées, formé de deux compartiments $V_1$ (gaz) et $V_2$ (vide) séparés par un robinet. On ouvre le robinet : le gaz se détend dans le vide jusqu'à l'équilibre final.
b) Détente de Joule–Thomson (Joule-Kelvin)
Écoulement stationnaire d'un gaz parfait à travers un milieu poreux, dans une conduite horizontale rigide calorifugée, avec $p_s < p_e$ et vitesse d'ensemble négligeable. On suit une masse de gaz entre les instants $t_1$ et $t_2$ (système fermé).
Le premier principe donne $u_s+p_sV_s = u_e+p_eV_e$, soit avec l'enthalpie massique $h=u+pV$ :
Le second principe donne, avec $s_s-s_e$ tel que
(et $T_s=T_e$) :
Fiche 26 : Transition de phase (1)
Les transitions de phase d'un corps pur sont développées au travers d'une approche descriptive introduisant le diagramme de Clapeyron et le diagramme pression-température.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Différentes transitions et variance
Une phase est toute partie d'un système dont les variables d'état intensives sont continues (supposée homogène). Les transitions usuelles : fusion/solidification, vaporisation/liquéfaction, sublimation/condensation.
- $v_{int}$ : variance
- $c$ : nombre de constituants
- $f$ : nombre de phases
En chauffant lentement de la glace à $p_0$, la température croît puis atteint un palier (fusion) où deux phases coexistent (une seule variable suffit, relation $p=f(T)$), puis croît à nouveau jusqu'au palier de vaporisation. Sous deux phases, il faut en plus la répartition de masse entre les deux phases pour décrire complètement le système.
b) Diagramme pression-température
Trois courbes $p=f(T)$ correspondent à l'équilibre sous deux phases : (1) fusion (solide-liquide), (2) vaporisation (liquide-vapeur), (3) sublimation (solide-gaz).
Pour la plupart des corps, les pentes des 3 courbes sont positives. Cas particulier de l'eau (point triple : 0,006 bar, 273,16 K ; point critique : 221 bar, 647,3 K) :
c) Diagramme de Clapeyron de la transition liquide-gaz
Le diagramme de Clapeyron représente $p$ en fonction du volume massique $v$. Les isothermes sont tracées par compression isotherme du gaz ou détente isotherme du liquide (transformations quasistatiques).
- $T > T_{\mathcal{C}}$ : compression du gaz, pression toujours croissante, système monophasique fluide
- $T = T_{\mathcal{C}}$ : point d'inflexion à tangente horizontale au point critique, compressibilité isotherme infinie
- $T < T_{\mathcal{C}}$ : palier LV à $p_{sat}$ (pression de vapeur saturante) ; L = courbe d'ébullition, V = courbe de rosée
d) Fraction massique en vapeur : théorème des moments
2) En pratique
En pratique
Chaudière ($V=0{,}1\,\text{m}^3$) contenant $m=585$ g d'eau ($M=18$ g/mol) à $T_0=100°C$, $p_{sat}(100°C)=1$ bar. Caractérisons l'état de l'eau : $n=32{,}5$ mol, $v = V/m = 0{,}17\,\text{m}^3\text{.kg}^{-1}$.
Comme $v_L \leq v \leq v_V$, l'eau est diphasique, de fraction massique en vapeur :
Fiche 27 : Transition de phase (2)
À partir de l'exemple de l'équilibre liquide-vapeur d'un corps pur, sont développées les méthodes d'étude des systèmes diphasiques.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Fonctions d'état du système diphasique
Pour les fonctions d'état massiques du liquide ($u_L, h_L, s_L$) et de la vapeur saturante ($u_V, h_V, s_V$), avec $s_L < s_V$ (le désordre croît) :
b) Chaleur latente de vaporisation
Transformation isobare-isotherme, réversible ($S_{créée}=0$) :
c) Discussion du diagramme p-T
La pente de la courbe de fusion a le signe de $(v_L-v_S)$ : positive pour la plupart des corps (le solide « tombe » dans le liquide), mais négative pour l'eau (la glace flotte, $v_L\lt v_S$). La courbe de sublimation a toujours une pente positive.
2) En pratique
En pratique
Chaudière ($n=32{,}5$ mol d'eau, $V=0{,}1\,\text{m}^3$) initialement diphasique à $T_0=100°C$ ($x_V=0{,}098$), mise en contact avec un thermostat à $T_{th}=200°C$. $p_{sat}(200°C)=16$ bar, $L_V=2300\,\text{kJ.kg}^{-1}$, $C_V=33{,}3\,\text{J.mol}^{-1}\text{K}^{-1}$.
Hypothèse « tout gazeux » à l'état final : $p = nRT_F/V = 12{,}8\times10^5$ Pa $< p_{sat}(200°C)$ : hypothèse validée, l'état final est monophasique gazeux.
Chemin fictif (I)→(A) vaporisation réversible à $T_0$ puis (A)→(F) et (I')→(F) échauffement isochore du gaz :
Autre exemple : calorimètre adiabatique avec $m_0=250$ g d'eau liquide et $m=40$ g de glace, chauffé par résistance électrique ($I_0=0{,}85$ A, $U_0=220$ V, $\Delta t=260$ s) jusqu'à $T_F=28{,}8°C$. Déterminons $L_f$.
Transformation monobare adiabatique : $\Delta H = W_{autre} = U_0I_0\Delta t$. Chemin : fusion réversible ($\Delta H_1=mL_f$) puis échauffement des deux masses liquides :
Fiche 28 : Machines thermiques
Les machines thermiques étudiées dans cette fiche sont utilisées dans de nombreux domaines : automobiles, centrales électriques, installations frigorifiques, pompes à chaleur…
1) Ce qu'il faut retenir
a) Machines dithermes
Une machine ditherme fonctionne cycliquement, échangeant du travail $W$ et des transferts thermiques $Q_C$ (source chaude, $T_C$) et $Q_F$ (source froide, $T_F\lt T_C$) avec le milieu extérieur.
Premier principe sur un cycle ($\Delta U=0$) : $W+Q_C+Q_F=0$. Second principe ($\Delta S=0$, $S_{créée}\geq0$) donne l'inégalité de Clausius :
b) Diagramme de Raveau
Un cycle est représenté par un point dans le plan $(Q_F, Q_C)$. La droite (1) $Q_C/T_C+Q_F/T_F=0$ correspond aux cycles réversibles (l'inégalité de Clausius définit la zone grisée des cycles interdits). La droite (2) $Q_C+Q_F=0$ sépare $W<0$ (au-dessus) de $W>0$ (au-dessous).
- Zone I : $W<0$, la machine est un moteur, fournit du travail au milieu extérieur
- Zone II : $Q_C<0$, $Q_F>0$, $W>0$, récepteur utile : le travail fourni permet le transfert thermique de la source froide vers la source chaude
- Zones III et IV : sans intérêt pratique (le transfert de la source chaude vers la source froide a lieu spontanément, sans travail nécessaire)
c) Moteur
La machine fournit du travail ($W<0$), reçoit $Q_C>0$ de la source chaude, cède $Q_F<0$ à la source froide. Le rendement est le rapport de ce que l'on gagne ($-W$) à ce que l'on dépense ($Q_C$) :
d) Récepteurs : réfrigérateur et pompe à chaleur
La machine reçoit $Q_F>0$ de la source froide, cède $Q_C<0$ à la source chaude, et reçoit du travail $W>0$ du milieu extérieur.
| Réfrigérateur | Pompe à chaleur | |
|---|---|---|
| Système étudié | Source froide = intérieur du réfrigérateur | Source chaude = intérieur d'une maison |
| Autre source | Source chaude = atmosphère | Source froide = atmosphère/sol |
| Efficacité | $e_R = Q_F/W \leq T_F/(T_C-T_F)$ | $e_P = -Q_C/W \leq T_C/(T_C-T_F)$ |
2) En pratique
En pratique
Centrale nucléaire (moteur ditherme cyclique), source froide = fleuve $T_F=20°C$, source chaude = cœur du réacteur $T_C=425°C$, puissance mécanique $P_m = 1000$ MW, rendement réel $\eta=0{,}34$.
Entropie créée par seconde : $P_C = P_m/\eta = 2940$ MW, $P_F = P_m-P_C = -1940$ MW :
Autre exemple : réfrigérateur pour fabriquer $m=4$ kg de glace à $0°C$ à partir d'eau à $0°C$, extérieur à $T_0=17°C$, $L_f = 336\,\text{kJ.kg}^{-1}$. Transformation monobare : $\Delta H = Q = -mL_f$, donc $Q_F = -Q = mL_f$. Travail minimum (cycle réversible) :
Fiche 29 : Conduction thermique
La conduction thermique est un phénomène de transport par transfert thermique. Ses principales propriétés sont décrites et comparées à celles de la conduction électrique.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Conduction (ou diffusion) thermique
Système hors équilibre thermodynamique : des inhomogénéités de température entraînent un transfert thermique sans transport macroscopique de matière. Dans les fluides, la conduction est souvent masquée par la convection.
b) Conductivité thermique : loi de Fourier
| Matériau | air | eau | cuivre | acier | verre | béton | laine de verre |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $K_T$ (W.m$^{-1}$.K$^{-1}$) | 0,026 | 0,6 | 390 | 16 | 1,2 | 0,9 | 0,04 |
c) Équation de la diffusion thermique
Barre isotrope homogène (section $A$, masse volumique $\rho$, capacité massique $c$, conductivité $K_T$), calorifugée sur son pourtour, modèle unidimensionnel. Bilan d'énergie (premier principe) sur une tranche $[x,x+dx]$ :
| Condition aux limites | Expression |
|---|---|
| Surface en contact avec un thermostat à $T_0$ | Température de surface = $T_0$ |
| Surface calorifugée | $j_{th}=0$ en tout point de la surface |
| Contact entre deux matériaux | Égalité de $j_{th}$ et de $T$ à l'interface |
d) Régime permanent (barre 1D)
En régime permanent, $T$ et $j_{th}$ ne dépendent pas du temps : $d^2T/dx^2=0 \Rightarrow T(x) = Bx+D$ (gradient constant), $j_{th}(x) = -K_TB$ (même en tout point).
| Configuration | Conditions aux limites | Résultat |
|---|---|---|
| Barre calorifugée + 1 thermostat $T_0$ en $x=0$ | $T(0)=T_0$, $j_{th}(L)=0$ | $T(x)=T_0$ uniforme, $j_{th}=0$ : équilibre thermodynamique |
| 2 thermostats $T_1$ (x=0) et $T_2$ (x=L) | $T(0)=T_1$, $T(L)=T_2$ | $T(x) = \dfrac{T_2-T_1}{L}x+T_1$, $j_{th} = -K_T\dfrac{T_2-T_1}{L}$ |
Temps caractéristique de diffusion, avec variables réduites $x=Lx'$, $t=\tau_dt'$ :
2) En pratique
En pratique
Récipient cubique en polystyrène ($K_T=0{,}01\,\text{W.m}^{-1}\text{.K}^{-1}$, épaisseur $e=1$ cm, surface par face $A=200\,\text{cm}^2$), contenant $m=1$ kg de glace à $T_{int}=273$ K, extérieur à $T_{ext}=313$ K.
Temps pour fondre toute la glace ($L_f=335\,\text{kJ.kg}^{-1}$), transformation monobare : $\Delta H = Q = P_{th}\tau = mL_f$ :
Comparaison simple/double vitrage. Simple vitrage ($d=3$ mm, $K_V=1{,}0\,\text{W.m}^{-1}\text{.K}^{-1}$), $T_{ext}=-29°C$, $T_{int}=19°C$ :
Double vitrage (lame d'air $D=7{,}5$ cm, $K_{air}=0{,}026\,\text{W.m}^{-1}\text{.K}^{-1}$) : en égalant les densités de courant dans les 3 couches et en sommant les écarts de température :
