La logique mathématique est la science du raisonnement. Elle permet d’élaborer des raisonnements par enchaînements d’affirmations selon un langage et des règles précises.

• Une affirmation mathématique peut être appelée proposition, assertion, énoncé…
• Une affirmation dépendant d’une ou plusieurs variables est appelée formule mathématique ou prédicat.

Principes de la logique binaire

• Une proposition mathématique doit prendre une valeur de vérité.
• Elle ne peut prendre que deux valeurs : vraie (V) ou fausse (F) — principe du tiers exclu. Il n’y a pas de tierce possibilité.
• Une proposition mathématique ne peut simultanément être vraie et fausse (principe de non-contradiction).

• « \(5 < 3\) » est une assertion fausse ;
• « \(3 < 5\) » est une assertion vraie ;
• « \(x > 3\) » est un prédicat dépendant de la variable \(x\).

Soit \(P\) une proposition. La négation de \(P\) est la proposition dont les valeurs de vérité sont les contraires de celles de \(P\). Elle est notée \(\neg P\) (qui se lit « non \(P\) »).

Soit \(n \in \mathbb{N}\) et \(P\) l’assertion « \(n\) est un nombre pair ». Alors \(\neg P\) est l’assertion « \(n\) est un nombre impair ».

Soit \(E\) un ensemble, \(x\) un élément de \(E\) et \(A\) une partie de \(E\).
Considérons \(P\) la propriété « \(x \in A\) ». Alors \(\neg P\) est la propriété « \(x \notin A\) », c’est-à-dire « \(x \in \complement_E A \) ».
On dit usuellement que la négation \(\neg\) correspond au complémentaire \(\complement\).

La négation logique ne correspond pas nécessairement à la notion de contraire ou d’antonyme en sémantique. Par exemple, le contraire de « jeune » est « vieux » (et inversement), mais dire que quelqu’un n’est pas jeune ne signifie pas nécessairement qu’il est vieux…

Paradoxe du tiers exclu

• Considérons l’assertion \(P\) : « Cette phrase contient sept mots. » C’est faux, elle contient cinq mots.
  Sa négation \(\neg P\) : « Cette phrase ne contient pas sept mots. » C’est faux, elle contient effectivement sept mots.
  On est en présence d’une phrase et de sa négation, toutes les deux fausses à la fois !
• Considérons l’assertion \(Q\) : « Cette phrase contient cinq mots. » C’est vrai.
  Sa négation \(\neg Q\) : « Cette phrase ne contient pas cinq mots. » C’est vrai aussi.
  On est en présence d’une phrase et de sa négation, toutes les deux vraies à la fois !
  En fait, dans les deux négations, « Cette phrase » fait référence aux assertions initiales…

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. La conjonction de \(P\) et \(Q\) est la proposition qui n’est vraie que lorsque \(P\) et \(Q\) sont simultanément vraies. Elle est notée \(P \land Q\) (qui se lit « \(P\) et \(Q\) »).

Soit \(n \in \mathbb{N}\), \(P\) l’assertion « \(n\) est un multiple de 2 » et \(Q\) l’assertion « \(n\) est un multiple de 3 ». Alors \(P \land Q\) est l’assertion « \(n\) est un multiple de 6 ».

Soit \(E\) un ensemble, \(x\) un élément de \(E\), \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\).
Considérons \(P\) la propriété « \(x \in A\) » et \(Q\) la propriété « \(x \in B\) ». Alors \(P \land Q\) est la propriété « \(x \in A \cap B\) ».
On dit usuellement que la conjonction \(\land\) correspond à l’intersection \(\cap\).

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. La disjonction de \(P\) et \(Q\) est la proposition qui est vraie lorsqu’au moins l’une des deux propositions est vraie. Elle est notée \(P \lor Q\) (qui se lit « \(P\) ou \(Q\) »).
On parle ici plus précisément de ou inclusif (par opposition au ou exclusif).

Soit \(x,y \in \mathbb{R}\), \(P\) l’assertion « \(x=0\) » et \(Q\) l’assertion « \(y=0\) ». Alors \(P \lor Q\) est l’assertion « \(xy=0\) ».

Soit \(E\) un ensemble, \(x\) un élément de \(E\), \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\).
Considérons \(P\) la propriété « \(x \in A\) » et \(Q\) la propriété « \(x \in B\) ». Alors \(P \lor Q\) est la propriété « \(x \in A \cup B\) ».
On dit usuellement que la disjonction \(\lor\) correspond à la réunion \(\cup\).

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. La disjonction exclusive de \(P\) et \(Q\) est la proposition qui est vraie lorsqu’une seule des deux propositions est vraie. Elle est notée \(P \oplus Q\) ou \(P \veebar Q\) (qui se lit « \(P\) xor \(Q\) »).

Soit \(x \in \mathbb{R}\), \(P\) l’assertion « \(x \geqslant 1\) » et \(Q\) l’assertion « \(x \leqslant -1\) ». Alors \(P \oplus Q\) est l’assertion « \(|x| \geqslant 1\) ».

Soit \(E\) un ensemble, \(x\) un élément de \(E\), \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\).
Considérons \(P\) la propriété « \(x \in A\) » et \(Q\) la propriété « \(x \in B\) ». Alors \(P \oplus Q\) est la propriété « \(x \in A \Delta B\) ».
On dit usuellement que la disjonction exclusive \(\oplus\) correspond à la différence symétrique \(\Delta\).

Soit \(P\) une proposition.

• La disjonction \(P \lor (\neg P)\) est toujours vraie ; elle est le simple reflet du tiers exclu. On dit que c’est une tautologie.
• La conjonction \(P \land (\neg P)\) est toujours fausse. C’est une contradiction.

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions.

• \(\neg(P \lor Q)\) et \((\neg P) \land (\neg Q)\) ont les mêmes valeurs de vérité ;
• \(\neg(P \land Q)\) et \((\neg P) \lor (\neg Q)\) ont les mêmes valeurs de vérité.

Soit \(P\), \(Q\) et \(R\) trois propositions.

• \((P \lor Q) \land R\) et \((P \land R) \lor (Q \land R)\) ont les mêmes valeurs de vérité ;
• \((P \land Q) \lor R\) et \((P \lor R) \land (Q \lor R)\) ont les mêmes valeurs de vérité.

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. On considère le produit cartésien : \[ A \times B = \bigl\{ (a,b) \mid a \in A \text{ et } b \in B \bigr\}. \] On définit l’égalité de deux couples \((a,b)\) et \((a',b')\) dans \(A \times B\) selon \[ (a,b) = (a',b') \quad \text{ssi} \quad \bigl[(a=a') \land (b=b')\bigr]. \] Le contraire de l’égalité s’énonce selon \[ (a,b) \neq (a',b') \quad \text{ssi} \quad \bigl[(a \neq a') \lor (b \neq b')\bigr]. \]

On se place dans \(\mathbb{R}^2\) interprété comme un plan.

• \(x^2 + y^2 = 0\) ssi \(x=0 \land y=0\) ssi \((x,y)=(0,0)\).
• Négation : \(x^2 + y^2 > 0\) ssi \(x \neq 0 \lor y \neq 0\) ssi \((x,y) \neq (0,0)\).
  On a ainsi \(\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2>0\bigr\} = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\).
  Interprétation géométrique : l’ensemble des points du plan à une distance strictement positive de l’origine \(O\) est le plan privé de \(O\).
• \(xy=0\) ssi \(x=0 \lor y=0\).
  On a ainsi \(\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : xy=0\bigr\} = D_1 \cup D_2\) où \(D_1=\{(x,y):y=0\}\) (axe \(Ox\)) et \(D_2=\{(x,y):x=0\}\) (axe \(Oy\)).
• Négation : \(xy \neq 0\) ssi \(x\neq 0 \land y\neq 0\), soit encore la réunion des quatre quadrants stricts \(Q_1\cup Q_2\cup Q_3\cup Q_4\).

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. L’implication de \(P\) à \(Q\) est la proposition qui n’est fausse que lorsque \(P\) est vraie et \(Q\) fausse. Elle est notée \(P \implies Q\) (qui se lit « \(P\) implique \(Q\) »).
La réciproque de l’implication \(P \implies Q\) est l’implication \(Q \implies P\).

• L’implication ne préjuge pas de la véracité de l’hypothèse. On peut la comprendre selon « si \(P\) est vraie, alors \(Q\) est vraie ».
• Elle exprime une relation de cause à effet : « une cause implique un effet ».
• La négation de l’implication se comprend alors selon « on a une cause sans en avoir l’effet correspondant ».

Soit \(x \in \mathbb{R}\). L’implication \((x=2) \implies (x^2=4)\) est vraie.
Sa négation s’énonce selon \((x=2) \land (x^2 \neq 4)\), elle est fausse.

Les implications \(P \implies Q\) et \((\neg Q) \implies (\neg P)\) ont les mêmes valeurs de vérité.
L’implication \((\neg Q) \implies (\neg P)\) est appelée contraposée de l’implication \(P \implies Q\).

La contraposée de l’implication de l’exemple 1.23 s’énonce selon \((x^2 \neq 4) \implies (x \neq 2)\), elle est aussi vraie.

Si les implications \(P \implies Q\) et \(Q \implies R\) sont vérifiées, alors \(P \implies R\) l’est aussi.

La logique mathématique peut différer de celle du langage courant. Par exemple :

• « S’il pleut, alors mon jardin sera arrosé. » (cause = pluie, effet = arrosage) — en accord avec l’implication mathématique.
  Négation : « Il pleut et mon jardin n’est pas arrosé. »
• « S’il pleut, alors il y a des nuages. » — la pluie est ici la cause observée entraînant l’existence de nuages comme effet. Négation : « Il pleut et il n’y a pas de nuages. »

Soit \(x \in \mathbb{R}\). On a clairement \(x \geqslant 1 \implies x \geqslant 0\). Autres formulations :

• Pour que \(x \geqslant 1\), il faut que \(x \geqslant 0\).
• Pour que \(x \geqslant 0\), il suffit que \(x \geqslant 1\).

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. L’équivalence de \(P\) et \(Q\) est la proposition qui n’est vraie que lorsque \(P\) et \(Q\) ont même valeur de vérité (soit simultanément vraies, soit simultanément fausses). Elle est notée \(P \iff Q\) (qui se lit « \(P\) équivalent à \(Q\) »).

L’équivalence \(P \iff Q\) a même valeur de vérité que la double implication \(P \implies Q\) et \(Q \implies P\).

Condition nécessaire et suffisante
Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions telles que l’équivalence \(P \iff Q\) soit vraie. Alors \(P\) est une condition nécessaire et suffisante de \(Q\) :
« il faut et il suffit que \(P\) soit vraie pour que \(Q\) soit vraie » ou encore « \(P\) est vraie si et seulement si \(Q\) est vraie ».

1. L’expression « \(\forall x \in A\) » se lit « quel que soit \(x\) élément de \(A\) » ou « pour tout \(x\) appartenant à \(A\) ».
   La notation \(\forall\) est un A à l’envers ; \(\forall\) est l’initiale de l’allemand Alle.
2. L’expression « \(\exists x \in A\) » se lit « il existe un élément \(x\) de \(A\) ».
   Dans cette expression, il est sous-entendu « il existe au moins ».
   La notation \(\exists\) est un E retourné ; \(\exists\) est l’initiale de l’allemand Existieren.

On dit qu’un élément vérifiant une propriété \(P\) dans un ensemble \(E\) est unique si deux éléments vérifiant la propriété \(P\) sont nécessairement égaux, autrement dit : \[ \forall (x_1,x_2) \in E^2,\quad P(x_1)\land P(x_2) \implies x_1=x_2. \] • L’unicité n’implique pas l’existence : quand il y a unicité, soit il y a un unique élément ayant la propriété \(P\), soit il n’y en a pas.
• Le fait qu’il y ait conjointement existence et unicité de l’élément \(x\) vérifiant la propriété \(P\) se symbolise par : \(\exists! x \in E,\ P(x)\).

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) une fonction.
On dit que « \(f\) est la fonction nulle » lorsque \(\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=0\).
Par négation, « \(f\) n’est pas la fonction nulle » lorsque \(\exists x\in\mathbb{R},\ f(x)\neq 0\).
Cette dernière proposition ne signifie pas que « \(f\) ne s’annule pas » : \(\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)\neq 0\).

Considérons un ensemble \(E\).

• Soit \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Alors :
  La propriété « \(\forall x\in E,\ x\in A \implies x\in B\) » est équivalente à « \(A\subset B\) ».
  La propriété « \(\forall x\in E,\ x\in A \iff x\in B\) » est équivalente à « \(A=B\) ».
• Soit \(P\) et \(Q\) des prédicats définis sur \(E\) et \(A=\{x\in E:P(x)\}\), \(B=\{x\in E:Q(x)\}\). Alors :
  « \(\forall x\in E,\ P(x)\implies Q(x)\) » \(\iff\) \(A\subset B\) ;
  « \(\forall x\in E,\ P(x)\iff Q(x)\) » \(\iff\) \(A=B\).

On ne peut pas permuter deux quantificateurs de natures différentes : \[ \exists x\in A,\ \forall y\in B,\ P(x,y) \] n’est pas équivalente en général à \[ \forall y\in B,\ \exists x\in A,\ P(x,y). \] Dans la première assertion, \(x\) est un élément de \(A\) indépendant de tout \(y\in B\) alors que dans la deuxième, \(x\) est un élément de \(A\) a priori dépendant de \(y\in B\).
Parfois on signale de manière plus explicite cette dépendance : \(\forall y\in B,\ \exists x(y)\in A,\ P\bigl(x(y),y\bigr)\).

Exemples :

• La propriété \(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists n\in\mathbb{N},\ n\geqslant x\) signifie que tout réel admet un majorant entier. Cette propriété est vraie (choisir e.g. \(n=E(x)+1\), \(n\) dépend de \(x\)).
• La propriété \(\exists n\in\mathbb{N},\ \forall x\in\mathbb{R},\ n\geqslant x\) signifie que tous les réels sont majorés par un certain entier. Cette propriété est fausse puisque \(\mathbb{R}\) est non majoré.

Négation des quantificateurs

• \(\neg\bigl(\forall x\in A,\ P(x)\bigr) \iff \exists x\in A,\ \neg P(x)\)
• \(\neg\bigl(\exists x\in A,\ P(x)\bigr) \iff \forall x\in A,\ \neg P(x)\)

Pour démontrer \(P\implies Q\), on suppose \(P\) vraie et l’on en déduit \(Q\) par enchaînement d’implications.

La construction de l’ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels de Peano peut être décrite par les cinq axiomes suivants :

1. L’ensemble \(\mathbb{N}\) contient un élément particulier appelé « zéro ».
2. Tout entier naturel a un unique successeur qui est un entier naturel.
3. Zéro n’est le successeur d’aucun entier naturel.
4. Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
5. Si un sous-ensemble d’entiers naturels contient zéro et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est \(\mathbb{N}\).

« Tous les humains sont mortels » (tautologie).
Or Socrate est un humain (hypothèse auxiliaire) ;
donc Socrate est mortel (conclusion).

On partitionne l’univers en cas exhaustifs et l’on prouve la propriété dans chaque cas.

Soit \(ABCD\) un carré de côté \(a\).
D’après le théorème de Pythagore (tautologie), « dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés » : \(AB^2+BC^2=AC^2\).
Or \(ABCD\) est un carré (hypothèse auxiliaire), donc en particulier le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) et \(AB=BC=a\).
On en déduit alors (conclusion) que la diagonale \(AC\) du carré vaut \(a\sqrt{2}\).

« Pour tout entier \(n\), \(n(n+1)/2\) est un entier. »
Soit \(n\) un entier. Un entier est soit pair soit impair.

• Si \(n\) est pair, alors \(n=2p\) avec \(p\) entier. On a \(n(n+1)/2=p(2p+1)\) qui est entier.
• Si \(n\) est impair, alors \(n=2p+1\) avec \(p\) entier. On a \(n(n+1)/2=(p+1)(2p+1)\) qui est entier.

Fixons un réel positif \(a\).
« \(\forall x\in\mathbb{R},\ (|x|\leqslant a) \iff (-a\leqslant x\leqslant a)\). »

Soit \(x\) un réel. Un réel est positif ou négatif (0 est considéré comme étant positif et négatif).

1. Supposons \(|x|\leqslant a\).
   • Si \(x\geqslant 0\), alors \(|x|=x\) donc \(0\leqslant x\leqslant a\). Or \(-a\leqslant 0\), donc \(-a\leqslant x\leqslant a\).
   • Si \(x\leqslant 0\), alors \(|x|=-x\) donc \(-a\leqslant x\leqslant 0\). Or \(a\geqslant 0\), donc \(-a\leqslant x\leqslant a\).
2. Supposons réciproquement \(-a\leqslant x\leqslant a\).
   • Si \(x\geqslant 0\), alors \(|x|=x\) donc \(|x|\leqslant a\).
   • Si \(x\leqslant 0\), alors \(|x|=-x\) donc \(-|x|\geqslant -a\), soit encore \(|x|\leqslant a\).

Pour démontrer \(P\implies Q\), on démontre la contraposée \(\neg Q\implies\neg P\) (logiquement équivalente).

1. « Pour tout entier \(n\), si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair. »
   La contraposée s’énonce selon : « si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair. » Cette dernière est vraie. En effet : si \(n\) est pair, alors \(n=2p\) avec \(p\) entier. Le carré \(n^2=4p^2\) est effectivement pair. D’où la véracité de l’assertion initiale.
2. « Pour tout entier \(n\), si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair. »
   La contraposée s’énonce selon : « si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair. » Cette dernière est vraie. En effet : si \(n\) est impair, alors \(n=2p+1\) avec \(p\) entier. Le carré \(n^2=4p^2+4p+1=2(2p^2+2p)+1\) est effectivement impair. D’où la véracité de l’assertion initiale.

Pour démontrer qu’une proposition est vraie, on suppose son contraire et l’on montre que cela contredit une proposition vraie.

1. « Le nombre \(\sqrt{2}\) est un irrationnel. » Supposons le contraire, i.e. \(\sqrt{2}\) est rationnel.
   • Le nombre \(\sqrt{2}\) s’écrirait sous la forme \(p/q\) avec \(p,q\) deux entiers premiers entre eux.
   • Par définition de \(\sqrt{2}\), on aurait \(p^2/q^2=2\), soit encore \(p^2=2q^2\).
   • Donc \(p^2\) serait pair, et d’après l’exemple 2.6, \(p\) serait pair.
   • On pourrait donc écrire \(p=2p'\) pour un entier \(p'\) et l’on aurait ensuite \(q^2=2p'^2\).
   • Ainsi \(q^2\) serait pair, et d’après l’exemple 2.6, \(q\) serait pair.
   • Finalement, \(p\) et \(q\) seraient simultanément pairs alors qu’ils étaient premiers entre eux. D’où une contradiction. L’hypothèse « \(\sqrt{2}\) est rationnel » était donc fausse.
2. « Il y a une infinité de nombres premiers. » Supposons le contraire, i.e. qu’il n’y aurait qu’un nombre fini \(n\) de nombres premiers. Notons-les \(p_1,p_2,\dots,p_n\).
   • Considérons alors le nombre \(P=p_1p_2\dots p_n+1\).
   • Par construction, \(P\) serait strictement supérieur à 1 et ne serait divisible par aucun nombre premier. \(P\) serait ainsi un nombre premier différent de \(p_1,\dots,p_n\).
   • Il y aurait alors au moins \(n+1\) nombres premiers. D’où une contradiction. L’hypothèse « il n’y a qu’un nombre fini de nombres premiers » était donc fausse.

Pour réfuter \(\forall x,\ P(x)\), il suffit d’exhiber un \(a\) tel que \(\neg P(a)\).

Rappelons la définition de fonctions paires, impaires.

• Une fonction \(f\) est paire lorsque (1) \(D_f\) est symétrique par rapport à 0 ; (2) \(\forall x\in D_f,\ f(-x)=f(x)\).
• Une fonction \(f\) est impaire lorsque (1) \(D_f\) est symétrique par rapport à 0 ; (2) \(\forall x\in D_f,\ f(-x)=-f(x)\).

Considérons la fonction réelle \(f\) définie par : \(\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=3x^2-x\).
Montrons que \(f\) n’est ni paire ni impaire.
On a \(f(1)=2\) et \(f(-1)=4\).

1. On a \(\exists x\in D_f,\ f(-x)\neq f(x)\) (contre-exemple \(x=1\)), donc \(f\) n’est pas paire.
2. On a \(\exists x\in D_f,\ f(-x)\neq -f(x)\) (contre-exemple \(x=1\)), donc \(f\) n’est pas impaire.

Pour démontrer \(\forall n\geqslant n_0,\ P(n)\) :

1. Initialisation : vérifier \(P(n_0)\).
2. Hérédité : montrer \(\forall k\geqslant n_0,\ (P(k)\implies P(k+1))\).
3. Conclusion : \(\forall n\geqslant n_0,\ P(n)\).

Variantes : récurrence forte, double, etc.

« Pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\). »

Pour \(n\geqslant 1\), notons \(P(n)\) la propriété : \(\sum_{k=1}^n k = n(n+1)/2\).

Initialisation : pour \(n=1\), \(\sum_{k=1}^1 k=1\) et \(1\cdot 2/2=1\). Ainsi \(P(1)\) est vraie.

Hérédité : Soit \(i\geqslant 1\). Supposons \(P(i)\) vraie, i.e. \(\sum_{k=1}^i k=i(i+1)/2\).
Montrons que \(P(i+1)\) est vraie : \[ \sum_{k=1}^{i+1} k = \sum_{k=1}^i k + (i+1) = \frac{i(i+1)}{2} + (i+1) = \frac{i^2+3i+2}{2} = \frac{(i+1)(i+2)}{2}. \] Ainsi \(P(i+1)\) est vraie. La propriété est donc héréditaire.

On en conclut par récurrence que pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(P(n)\) est vraie.

« Pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \Bigl(\sum_{k=1}^n k\Bigr)^2\). »

Pour \(n\geqslant 1\), notons \(P(n)\) la propriété : \(\sum_{k=1}^n k^3 = \bigl(\sum_{k=1}^n k\bigr)^2\).

Initialisation : pour \(n=1\), \(\sum k^3=1\) et \(\bigl(\sum k\bigr)^2=1\). Ainsi \(P(1)\) est vraie.

Hérédité : Soit \(i\geqslant 1\). Supposons \(P(i)\) vraie. Montrons \(P(i+1)\). On a \[ \sum_{k=1}^{i+1} k^3 = \sum_{k=1}^i k^3 + (i+1)^3 = \Bigl(\sum_{k=1}^i k\Bigr)^2 + (i+1)^3. \] D’après l’exemple 2.9, \(\sum_{k=1}^i k = i(i+1)/2\), donc \[ \sum_{k=1}^{i+1} k^3 = \Bigl(\frac{i(i+1)}{2}\Bigr)^2 + (i+1)^3 = (i+1)^2\Bigl(\frac{i^2}{4}+i+1\Bigr) = \Bigl(\frac{(i+1)(i+2)}{2}\Bigr)^2 = \Bigl(\sum_{k=1}^{i+1} k\Bigr)^2. \] Ainsi \(P(i+1)\) est vraie. On conclut par récurrence.

Chaque gros cube contient \(1,2^3,3^3,\dots,n^3\) cubes unités répartis sur \(1,2,3,\dots,n\) plaques carrées, chacune composant les équerres-talons.

Figure — Gros cubes de côtés \(1,2,3,4,5\) contenant respectivement \(1^3,2^3,3^3,4^3,5^3\) cubes unités

Figure — Les \(1,2,\dots,n\) plaques carrées de chaque cube, mises bout à bout en escalier, forment les équerres-talons du grand carré

• Lorsque le nombre de plaques est impair (\(2p+1\)) : \(p\) plaques superposées (resp. juxtaposées en ligne) constituent la hauteur (resp. largeur) de l’équerre, 1 dernière plaque réalise l’angle de l’équerre.
• Lorsque le nombre de plaques est pair (\(2p\)) : \(p-1\) plaques superposées en hauteur (resp. juxtaposées en ligne) constituent la hauteur (resp. largeur) de l’équerre, 1 plaque réalise l’angle, 1 dernière plaque est divisée en deux et complète les extrémités.

Deux étapes :

1. Analyse : on raisonne sur une hypothétique solution et l’on accumule des conditions nécessaires.
2. Synthèse : on examine les candidats et l’on vérifie lesquels sont réellement solutions.

Résolution sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \(x = \sqrt{x+2}\).

Analyse : en élevant au carré, on a nécessairement \(x^2 - x - 2 = 0\). Les solutions de cette dernière équation sont \(-1\) et \(2\).
Synthèse : on vérifie si les candidats ainsi obtenus sont solutions de l’équation initiale : \(2\) convient, mais pas \(-1\).

• Dans l’analyse, on raisonne par conditions nécessaires. Si une équation \((E_1)\) entraîne une équation \((E_2)\), alors l’ensemble des solutions \(S_1\) de \((E_1)\) est contenu dans l’ensemble des solutions \(S_2\) de \((E_2)\) : si \((E_1)\implies(E_2)\), alors \(S_1\subset S_2\).
• La synthèse consiste à vérifier quels éléments de \(S_2\) sont dans \(S_1\).

« Toute fonction définie sur \(\mathbb{R}\) est la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. »

Exemples :

• Pour le polynôme \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\), les parties paires et impaires sont \(p(x)=ax^4+cx^2+e\) et \(i(x)=bx^3+dx\).
• Pour l’exponentielle, les parties paires et impaires sont respectivement le cosinus hyperbolique \(\mathrm{ch}(x)=\frac12(e^x+e^{-x})\) et le sinus hyperbolique \(\mathrm{sh}(x)=\frac12(e^x-e^{-x})\).

1. Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments de l’ensemble. On dit que ces éléments appartiennent à l’ensemble.
2. La notation « \(x\in E\) » signifie « \(x\) appartient à l’ensemble \(E\) ». La notation « \(x\notin E\) » signifie « \(x\) n’appartient pas à l’ensemble \(E\) ».
3. Un ensemble peut être défini de deux façons : en extension (lorsqu’on cite ses éléments) ou en compréhension (lorsqu’il réunit des éléments vérifiant une certaine propriété).
4. L’ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. On le note \(\emptyset\).

• Description en extension : \(A=\{1,2,3,4,5\}\). Convention : on écrit tous les éléments entre deux accolades séparés par des virgules. L’ordre n’a pas d’importance, et lorsque plusieurs éléments sont identiques, on ne les écrit qu’une seule fois. Par exemple \(\{1,2\}=\{2,1\}\) et \(\{1,1\}=\{1\}\).
• Description en compréhension : \(A=\{x\in\mathbb{N}^* : x\leqslant 5\}\).
• Dans \(\mathbb{R}\), l’intervalle \([a,b]\) est l’ensemble écrit en compréhension selon \(\{x\in\mathbb{R}:a\leqslant x\leqslant b\}\).

Soit \(A=\{1,2,3,4,5\}\) et \(B=\{3,4\}\).

Figure — Représentation des ensembles \(A=\{1,2,3,4,5\}\) et \(B=\{3,4\}\), avec \(B\subset A\)

Lorsqu’un ensemble \(E\) est fini, le nombre d’éléments qu’il contient est appelé son cardinal. On le note \(\mathrm{Card}(E)\) ou \(\#E\).
Convention : lorsque \(E\) est infini, on pose \(\mathrm{Card}(E)=+\infty\).

• \(\mathrm{Card}(\emptyset)=0\), \(\mathrm{Card}(\{\emptyset\})=1\).
• \(\mathrm{Card}\{1,2,3,4,5\}=5\).
• \(\mathrm{Card}(\mathbb{N})=+\infty\), \(\mathrm{Card}(\mathbb{R})=+\infty\).

Ne pas confondre \(\emptyset\) et \(\{\emptyset\}\).

• Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils contiennent les mêmes éléments.
• Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. On dit que \(A\) est inclus dans \(B\) si tout élément de \(A\) est élément de \(B\). On dit aussi que \(A\) est un sous-ensemble de \(B\), ou une partie de \(B\). On note alors \(A\subset B\). On rencontre parfois la notation \(A\subseteq B\).

• Si \(A=B\) alors \(A\subset B\).
• Ne pas confondre « appartient » et « est inclus ». Par exemple, on peut écrire \(3\in\{3,4\}\) et \(\{3\}\subset\{3,4\}\) mais pas \(\{3\}\in\{3,4\}\).

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. \(A=B\) équivaut à \(A\subset B\) et \(B\subset A\).

Si \(A\subset B\) et \(B\subset C\) alors \(A\subset C\).

Pour les ensembles de numération usuels, on a les inclusions suivantes : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\).

Figure — Ensembles de nombres emboîtés \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\)

Soit \(A\) un sous-ensemble de \(E\). On appelle complémentaire de \(A\) dans \(E\) l’ensemble formé des éléments de \(E\) qui n’appartiennent pas à \(A\). On le note \(\complement_E A\), ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté, \(A^c\) ou encore \(\overline{A}\).

Figure — À gauche : l'ensemble \(A\) (en rouge) ; à droite : son complémentaire \(\complement_E A\) (en rouge)

1. Dans \(\mathbb{R}\), on a \(\complement]-\infty,a] = ]a,+\infty[\) et \(\complement]-\infty,a[ = [a,+\infty[\).
2. Dans \(\mathbb{Z}\), notons \(P\) (resp. \(I\)) le sous-ensemble des nombres pairs (resp. impairs). On a \(\complement P = I\) et \(\complement I = P\).

Si le référentiel \(E\) est un ensemble fini et \(A\) un sous-ensemble de \(E\) : \[ \mathrm{Card}(\complement_E A) = \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(A). \]

Soit \(E=\{1,2,3,4,5\}\) un référentiel et \(A=\{1,2,5\}\) et \(B=\{1,2,3,5\}\) deux parties de \(E\).
• On a \(\complement A=\{3,4\}\) et \(\complement B=\{4\}\). On constate que \(\complement A\subset\complement B\) et \(\complement B\subset\complement A\).
Puis \(\complement(\complement A)=A\) et \(\complement(\complement B)=B\).
• \(\mathrm{Card}(E)=5\). Concernant \(A\) : \(\mathrm{Card}(A)=3\) et \(\mathrm{Card}(\complement A)=2=\mathrm{Card}(E)-\mathrm{Card}(A)\). Idem pour \(B\).

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. La réunion de \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\) (qui se lit « \(A\) union \(B\) ») est l’ensemble formé des éléments appartenant à \(A\) ou (inclusif) à \(B\).

Figure — Réunion \(A\cup B\) (en rouge)

1. Dans \(\mathbb{R}\), on a \(\mathbb{R}_-\cup\mathbb{R}_+=\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^*_-\cup\mathbb{R}^*_+=\mathbb{R}^*\).
2. Dans \(\mathbb{Z}\), on a \(P\cup I=\mathbb{Z}\).

• \(A\subset A\cup B\) ;
• si \(A\subset B\) alors \(A\cup B=B\) (et réciproquement) ;
• \(A\cup\emptyset=A\) ; \(A\cup A=A\) ; \(A\cup\overline{A}=E\) si \(E\) est le référentiel ;
• \(A\cup B=B\cup A\) (commutativité) ;
• \(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\) (associativité). Dans ce cas, on écrira plus simplement \(A\cup B\cup C\).

Figure — Réunion \(A\cup B\cup C\) (en rouge)

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. L’intersection de \(A\) et \(B\) notée \(A\cap B\) (qui se lit « \(A\) inter \(B\) ») est l’ensemble formé des éléments appartenant à \(A\) et à \(B\).
Lorsque \(A\cap B=\emptyset\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints.

Figure — Intersection \(A\cap B\) (en rouge)

1. Dans \(\mathbb{R}\), on a \(\mathbb{R}_-\cap\mathbb{R}_+=\{0\}\) et \(\mathbb{R}^*_-\cap\mathbb{R}^*_+=\emptyset\).
2. Dans \(\mathbb{Z}\), on a \(P\cap I=\emptyset\).

Dans \(\mathbb{R}\), pour tout réel positif \(a\), on a \(\complement[-a,a] = ]-\infty,-a[ \cup ]a,+\infty[\).

L’intersection est prioritaire sur la réunion, c’est-à-dire : \(A\cap B\cup C = (A\cap B)\cup C\) et non \(A\cap(B\cup C)\).

• \(A\cap B\subset A\) ;
• si \(A\subset B\) alors \(A\cap B=A\) (et réciproquement) ;
• \(A\cap\emptyset=\emptyset\) ; \(A\cap A=A\) ; \(A\cap\overline{A}=\emptyset\) ;
• \(A\cap B=B\cap A\) (commutativité) ;
• \(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\) (associativité). Dans ce cas, on écrira plus simplement \(A\cap B\cap C\).

Figure — Intersection \(A\cap B\cap C\) (en rouge)

• Distributivité de l'intersection sur la réunion : \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\) ;
• Distributivité de l'union sur l'intersection : \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\) ;
• Lois de De Morgan : \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\) et \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\).

Figure — À gauche \(A\cap(B\cup C)\), à droite \(A\cup(B\cap C)\) (en rouge)

Figure — À gauche \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\) ; à droite \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\) (complémentaire en rouge)

Si \(A\) et \(B\) sont des ensembles finis : \[ \mathrm{Card}(A\cup B) = \mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B). \] Si de plus \(A\) et \(B\) sont disjoints : \[ \mathrm{Card}(A\cup B) = \mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B). \]

Soit \(A=\{1,4,5\}\) et \(B=\{1,2,3,5\}\).
D’une part : \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\) et \(A\cap B=\{1,5\}\).
D’autre part : \(\mathrm{Card}(A)=3\), \(\mathrm{Card}(B)=4\), \(\mathrm{Card}(A\cup B)=5\), \(\mathrm{Card}(A\cap B)=2\).
On vérifie que l’on a bien \(\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B)\).

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. La différence de \(A\) et \(B\), notée \(A\setminus B\) (qui se lit « \(A\) moins \(B\) ») est l’ensemble formé des éléments appartenant à \(A\) qui n’appartiennent pas à \(B\).

Figure — Différence \(A\setminus B\) (en rouge)

1. Dans \(\mathbb{R}\), on a \(\mathbb{R}\setminus\{0\}=\mathbb{R}^*\) et \([a,b]\setminus\{a,b\}=]a,b[\).
2. Dans \(\mathbb{Z}\), on a \(\mathbb{Z}\setminus P=I\).

Si \(A\) et \(B\) sont des ensembles finis : \[ \mathrm{Card}(A\setminus B)=\mathrm{Card}(A)-\mathrm{Card}(A\cap B). \] Si de plus \(B\subset A\) : \[ \mathrm{Card}(A\setminus B)=\mathrm{Card}(A)-\mathrm{Card}(B). \]

Soit \(A=\{1,4,5\}\) et \(B=\{1,2,3,5\}\).
D’une part : \(A\setminus B=\{4\}\) et \(A\cap B=\{1,5\}\).
D’autre part : \(\mathrm{Card}(A)=3\), \(\mathrm{Card}(A\setminus B)=1\), \(\mathrm{Card}(A\cap B)=2\).
On vérifie que l’on a bien \(\mathrm{Card}(A\setminus B)=\mathrm{Card}(A)-\mathrm{Card}(A\cap B)\).

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. La différence symétrique de \(A\) et \(B\), notée \(A\Delta B\) (qui se lit « \(A\) delta \(B\) ») est l’ensemble formé des éléments appartenant soit à \(A\) soit à \(B\), mais pas aux deux simultanément. On a \[ A\Delta B = (A\cup B)\setminus(A\cap B) = (A\setminus B)\cup(B\setminus A). \]

Figure — Différence symétrique \(A\Delta B\) (en rouge)

Dans \(\mathbb{R}\), si \(a<c<b<d\), \([a,b]\Delta[c,d]=[a,c[\cup]b,d]\).

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. On appelle produit cartésien de \(A\) et \(B\) l’ensemble des couples d’éléments de \(A\) et de \(B\), pris dans cet ordre. On le note \(A\times B\) et on lit « \(A\) croix \(B\) ». \[ A\times B = \bigl\{(a,b)\mid a\in A\text{ et }b\in B\bigr\}. \]

• Si \(A=\{1,2,3\}\) et \(B=\{a,b\}\), alors \(A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}\).
• Pour dire \(x\geqslant 0\) et \(y\leqslant 0\), on peut noter \((x,y)\in\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_-\).

• \(A\times A\) se note aussi \(A^2\) ; par exemple, \(\mathbb{R}^2=\bigl\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R}\text{ et }y\in\mathbb{R}\bigr\}\).
• Ne pas confondre couple et paire. La notation \((a,b)\) désigne un couple alors que la notation \(\{a,b\}\) désigne, lorsque \(a\neq b\), un ensemble à deux éléments. Dans un couple, l’ordre d’écriture est important : lorsque \(a\neq b\), \((a,b)\) et \((b,a)\) sont des couples distincts. On peut également considérer le couple \((a,a)\) qui ne se simplifie pas en \(a\). Dans une paire, l’ordre d’écriture n’a pas d’importance : lorsque \(a\neq b\), \(\{a,b\}=\{b,a\}\). De plus, lorsque \(a=b\), on n’écrit qu’une seule fois \(a\) : \(\{a,a\}=\{a\}\).

Si \(A\) et \(B\) sont des ensembles finis : \[ \mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}(A)\times\mathrm{Card}(B). \]

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(A_1,A_2,\dots,A_n\) des ensembles. On appelle produit cartésien de \(A_1,A_2,\dots,A_n\) l’ensemble des \(n\)-uplets d’éléments de \(A_1,A_2,\dots,A_n\), pris dans cet ordre. On le note \(A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\). \[ A_1\times A_2\times\cdots\times A_n = \bigl\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_1\in A_1,\ a_2\in A_2,\ \dots,\ a_n\in A_n\bigr\}. \]

Lorsque les \(n\) ensembles \(A_1,A_2,\dots,A_n\) sont identiques à \(A\), le produit cartésien \(A\times A\times\cdots\times A\) se note aussi \(A^n\).
Par exemple, \(\mathbb{R}^n=\bigl\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\mid x_1\in\mathbb{R},\dots,x_n\in\mathbb{R}\bigr\}\). Cet ensemble est le modèle fondamental d’espace vectoriel de dimension \(n\) en algèbre linéaire.