Mécanique : Fiche de révision pour les concours d’entrée aux CPGE, à l’Agrégation, MPI, MPCI et MPSI 1
Fiches 1 à 5
CPGE / MPSI / MP
Fiche 1 : La mécanique
Cette fiche définit le domaine d'application de la mécanique newtonienne et les grandeurs clés utilisées.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Cadre de l'étude
Notre étude se situe uniquement dans le cadre de la mécanique newtonienne, valable lorsque :
- la taille des objets est supérieure au nanomètre (nm)
- la vitesse des objets est très inférieure à $c$ ($c$ = célérité de la lumière dans le vide ; $c \approx 3{,}0 \times 10^8\,\text{m.s}^{-1}$)
b) Point matériel
c) Masse
- C'est une grandeur scalaire positive, qui se conserve au cours du temps et qui est indépendante du référentiel choisi
- C'est une grandeur additive : la masse totale d'un système de points matériels est égale à la somme des masses de chacun de ses constituants
- Elle traduit l'inertie du corps, c'est-à-dire sa résistance à la mise en mouvement : plus la masse d'un objet est grande, plus l'action nécessaire pour provoquer ou modifier son déplacement (force, moment…) doit être importante
d) Temps
Par la suite, $A(t)$ indiquera que la grandeur $A$ (vectorielle ou scalaire) est une fonction du temps. Cependant, afin de ne pas « surcharger » les écritures, la variable $(t)$ n'apparaîtra pas de façon explicite dans toutes les expressions dépendantes du temps.
e) Référentiel
Il existe un référentiel privilégié, appelé référentiel galiléen, dans lequel le mouvement d'un système isolé est rectiligne et uniforme (donc la quantité de mouvement d'un système isolé reste constante). Le caractère « privilégié » du référentiel galiléen provient du fait que les lois de la mécanique newtonienne, et notamment le principe fondamental de la dynamique, ne sont valables que dans ce type de référentiel.
L'expérience montre qu'un référentiel lié à la surface de la Terre peut être considéré comme galiléen pour de nombreux systèmes mécaniques, à condition, par exemple, que leurs vitesses soient très inférieures à celle de la lumière et que le temps de l'expérience ne soit pas trop long.
Référentiels galiléens usuels : référentiel de Copernic, référentiel géocentrique, référentiel terrestre…
Notations utilisées par la suite :
- $(R_0)$ : référentiel fixe supposé galiléen, d'origine $O$, muni d'une base orthonormée directe $(\vec i, \vec j, \vec k)$, axes $Ox, Oy, Oz$
- $(R_i)$ avec $i = 1 \ldots n$ : référentiel galiléen, d'origine $O_i$, muni d'une base directe $(\vec{i_i}, \vec{j_i}, \vec{k_i})$, axes $O_ix_i, O_iy_i, O_iz_i$
f) Repère
g) Notion de force
- Unité : le Newton (N)
- Représentée par un vecteur qui a une direction (ligne d'action), un sens et une norme (intensité)
- Modélisée par un vecteur associé à un point d'application, généralement le centre de gravité du système considéré
- En mécanique du point matériel, le centre d'inertie (fiche 16) et le centre de gravité d'un point matériel sont confondus
2) En pratique
En pratique
Quel que soit le problème de mécanique du point matériel que l'on souhaite résoudre, il est important de commencer par :
- indiquer le système étudié ;
- indiquer le référentiel et la base de projection ;
- réaliser le bilan des forces extérieures appliquées sur le système étudié.
Une fois ces étapes réalisées, il suffit bien souvent d'appliquer un des théorèmes fondamentaux de la mécanique (principe fondamental de la dynamique, théorème de l'énergie cinétique…) pour répondre à la question posée.
Fiche 2 : Cinématique du point matériel
Le mot cinématique vient du grec « kinêma » qui signifie mouvement. La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie les mouvements des corps, indépendamment des causes qui les produisent.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Vitesse moyenne
b) Vitesse instantanée
La vitesse instantanée est la limite de $\vec V_{\text{moyenne}}$ lorsque $t'$ tend vers $t$. En posant $t' = t + \delta t$ ($\delta t$ variation infinitésimale de $t$) :
c) Accélération
d) Vecteur vitesse et vecteur accélération selon le système de coordonnées
| Système | Vecteur position | Vecteur vitesse | Vecteur accélération |
|---|---|---|---|
| Cartésiennes | $\overrightarrow{OM} = x\vec i + y\vec j + z\vec k$ | $\vec V = \dot x \vec i + \dot y \vec j + \dot z \vec k$ | $\vec a = \ddot x \vec i + \ddot y \vec j + \ddot z \vec k$ |
| Cylindriques (polaires) | $\overrightarrow{OM} = r\vec u_r + z\vec k$ | $\vec V = \dot r\, \vec u_r + r\dot\theta\, \vec u_\theta + \dot z\vec k$ | $\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\vec u_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\vec u_\theta + \ddot z\vec k$ |
| Sphériques | $\overrightarrow{OM} = r\vec u_r$ | $\vec V = \dot r\vec u_r + r\dot\theta\vec u_\theta + r\dot\varphi\sin\theta\,\vec u_\varphi$ | (expression développée à 3 composantes ; voir tableau complet du manuel) |
| Intrinsèques (Frenet) | abscisse curviligne $s(t)$ | $\vec V = \dot s\,\vec\tau$ | $\vec a = \ddot s\,\vec\tau + \dfrac{\dot s^2}{R}\vec\eta = a_\tau\vec\tau + a_\eta\vec\eta$ |
Base de Frenet (coordonnées intrinsèques)
Pour certaines trajectoires curvilignes, on utilise une base mobile dite base de Frenet, composée d'un vecteur tangent $\vec\tau$ (dirigé selon le sens du déplacement) et d'un vecteur normal $\vec\eta$ (dirigé vers le centre de courbure). Le point $M$ est repéré par son abscisse curviligne $s(t)$, longueur de l'arc orienté, telle que $s = R\alpha(t)$ ($R$ : rayon de courbure, $\alpha(t)$ : angle orienté).
La trajectoire est localement assimilée à un cercle osculateur de rayon $R$ et de centre $C$ ; le vecteur $\vec\tau$ tourne alors autour de l'axe fixe $\vec k$ avec la vitesse angulaire $\dot\alpha(t)$, d'où $\dfrac{d\vec\tau}{dt} = \dot\alpha\,\vec\eta$, ce qui permet d'obtenir $a_\tau$ (variation de la norme de la vitesse) et $a_\eta$ (changement de direction, liée à la courbure).
2) En pratique
En pratique
À titre d'exercice, on établit les expressions du vecteur vitesse d'un point $M$ par rapport à $(R_0)$ en coordonnées cylindriques et en coordonnées intrinsèques, puis l'accélération en coordonnées intrinsèques.
Fiche 3 : Des exemples de forces
Dans l'état actuel des connaissances, tous les processus physiques, chimiques ou biologiques connus peuvent être expliqués à l'aide de quatre interactions fondamentales. Les forces observées à l'échelle macroscopique n'en sont qu'une manifestation.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Les 4 interactions fondamentales
Interaction gravitationnelle. Deux points matériels quelconques $M_1$ et $M_2$, de masses respectives $m_1$ et $m_2$, séparés d'une distance $r$, s'attirent toujours avec une force $\vec F$ colinéaire à $\overrightarrow{M_1M_2}$, de norme :
Interaction électromagnétique. Deux points matériels $M_1$ et $M_2$, chargés respectivement $q_1$ et $q_2$, séparés d'une distance $r$ : s'attirent si les charges sont de signes opposés, se repoussent si de même signe.
Interactions forte et faible. L'interaction forte assure la cohésion des noyaux atomiques en liant protons et neutrons ; sans elle, les noyaux seraient dissociés par répulsion électrostatique des protons. L'interaction faible intervient dans les réactions nucléaires et agit sur toutes les particules. Contrairement aux interactions gravitationnelle et électromagnétique (portées infinies), les interactions forte et faible ont des portées extrêmement faibles : de l'ordre de $10^{-15}$ m pour la première et $10^{-18}$ m pour la seconde.
b) Force de gravitation et poids d'un corps
En notant $M$ la masse de la Terre et $R$ son rayon, l'action de la Terre sur un point matériel $M$ de masse $m$ situé à une altitude $h$ s'écrit :
Lorsque $h \to 0$ (point matériel proche de la surface terrestre), cette force devient $\vec F = -G\dfrac{Mm}{R^2}\vec u_r$. En posant $\vec g = -G\dfrac{M}{R^2}\vec u_r$, on obtient $\vec F = m\vec g$ : la force correspond alors au poids de l'objet, usuellement noté $\vec P$ :
- $P$ : poids (N)
- $m$ : masse (kg)
- $g$ : accélération de pesanteur (m.s$^{-2}$), avec $g \approx 9{,}81\,\text{m.s}^{-2}$ à l'altitude $h=0$
c) Force de frottement
Le frottement résulte de tout déplacement d'objet ; les forces de frottement engendrées s'opposent toujours au déplacement. On distingue deux catégories : le frottement solide (contact solide-solide) et le frottement visqueux (contact solide-fluide).
Frottement solide. Pour un solide $S$ en appui sur un support horizontal soumis à une force motrice $\vec F$, la réaction $\vec R$ du support se décompose en une composante normale $\vec R_N$ et une composante tangentielle, la force de frottement $\vec f$ : $\vec R = \vec R_N + \vec f$. L'expérience montre que $f$ est proportionnelle à $R_N$, le facteur de proportionnalité étant le coefficient de frottement $\mu$ :
Frottement visqueux. Un solide $S$ en mouvement dans un fluide subit des forces de frottement liées à la viscosité du fluide et à la vitesse de déplacement $\vec V$. Pour une vitesse faible :
Le frottement est omniprésent dans la vie quotidienne : la marche (chaussure-chaussée), le rasage (lame-peau), la cuisine (revêtements anti-adhésifs en téflon)…
d) Force de rappel d'un ressort
Un ressort de masse négligeable et de longueur à vide $\ell_0$, fixé en $A$ à un support horizontal, porte une masse $m$ en $B$. À l'équilibre, le ressort exerce une force de rappel qui s'oppose au poids :
- $F_R$ : force de rappel (N)
- $k \geq 0$ : raideur du ressort (N.m$^{-1}$)
- $(\ell - \ell_0)$ : élongation (m). Le signe négatif traduit une force qui s'oppose à la déformation. Loi valable en dessous de la limite d'élasticité (déformation réversible).
e) Force de liaison
Un point matériel libre dans l'espace à 3 dimensions possède 6 degrés de liberté (3 translations + 3 rotations). Une liaison impose une contrainte physique (position et/ou vitesse) et réduit ce nombre de degrés de liberté. Exemple : un point matériel $M$ au bout d'un fil inextensible (pendule) subit une force de liaison $\vec F_T$ (tension du fil), qui l'astreint à 3 rotations possibles sans translation. Cette tension se détermine à partir de la 2e loi de Newton.
2) En pratique
En pratique
Montrons que jusqu'à une altitude d'environ $h = 32$ km, la force gravitationnelle peut être assimilée au poids de l'objet.
On écrit $g = \dfrac{GM}{(R+h)^2} = g_0\left(1+\dfrac{h}{R}\right)^{-2}$ avec $g_0 = \dfrac{GM}{R^2}$. Comme $R \approx 6\,400$ km et $h/R \ll 1$, un développement limité à l'ordre 1 de $(1+\varepsilon)^n \approx 1+n\varepsilon$ donne :
Pour $h = 32$ km, $\dfrac{\Delta g}{g_0} \approx 0{,}01$ : la variation de $g$ reste inférieure à 1 %. Le poids $m\vec g$ est donc une excellente approximation de la force gravitationnelle jusqu'à cette altitude.
Fiche 4 : Les trois lois de Newton
La dynamique s'intéresse aux causes qui produisent les mouvements et elle est capable de les prévoir. Les concepts fondamentaux de la dynamique du point matériel sont résumés dans les trois lois de Newton.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Vecteur quantité de mouvement
Le vecteur quantité de mouvement $\vec p$ (unité : kg.m.s$^{-1}$) d'un point matériel $M$ de masse $m$ se déplaçant à la vitesse $\vec V_{M/R_0}$ par rapport à un référentiel $(R_0)$ est :
b) Première loi de Newton : le principe d'inertie
Ce principe fait intervenir le concept de point matériel isolé : un point matériel $M$ est isolé s'il ne subit aucune action de la part des systèmes environnants (ou suffisamment éloigné pour être considéré comme tel).
c) Deuxième loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique (PFD)
Soit $\vec F_{ext} = \vec F_1 + \vec F_2 + \ldots + \vec F_n = \sum_{i=1}^{n}\vec F_i$ la résultante des forces extérieures appliquées à un point matériel $M$. Le PFD s'écrit :
- $\sum \vec F_{ext}$ : résultante des forces extérieures (N)
- $m$ : masse de $M$ (kg)
- $\vec a_{M/R_0}$ : accélération de $M$ par rapport à $(R_0)$
Si le système étudié n'est pas un point matériel mais un ensemble de $n_i$ points matériels de masses $m_i$ constantes, le PFD s'applique au centre d'inertie $G$ du système (fiche 16) :
d) Troisième loi de Newton : le principe des actions réciproques
Si deux points matériels $M_1$ et $M_2$ sont en interaction, et si $\vec F_{1\to2}$ et $\vec F_{2\to1}$ sont respectivement les forces de $M_1$ sur $M_2$ et de $M_2$ sur $M_1$, alors ces deux forces sont colinéaires, opposées et égales en norme, quel que soit le référentiel (galiléen ou non) et leur mouvement respectif :
2) En pratique
En pratique
Déterminons l'altitude $h$ d'un satellite $S$ de masse $m$, en orbite circulaire autour de la Terre, pour qu'il paraisse immobile à un observateur situé à la surface (satellite géostationnaire). On donne $M_{\text{Terre}} = 5{,}98\times10^{24}$ kg et $R_{\text{Terre}} = 6{,}38\times10^6$ m.
- Système : satellite $S$ de masse $m$
- Référentiel : $(R_0)$ galiléen, centré sur la Terre, avec projection dans la base de Frenet $(\vec\eta, \vec\tau)$ liée à $S$ (trajectoire circulaire)
- Bilan des forces : seule l'attraction gravitationnelle de la Terre sur $S$, $\vec F_{T\to S} = G\dfrac{Mm}{(R+h)^2}\vec\eta$
Le PFD projeté sur $\vec\eta$ (mouvement circulaire ⇒ accélération purement centripète) donne :
D'où $(R+h)^3 = \dfrac{GM}{\omega_S^2}$, soit :
Application numérique : $h \approx 3{,}6 \times 10^7$ m, soit environ 36 000 km.
Fiche 5 : Loi de composition des mouvements
La loi de composition des mouvements permet de connaître le mouvement d'un point M (vitesse, accélération) par rapport à un référentiel (Ri), connaissant le mouvement de ce point par rapport à un référentiel (Rj) lui-même en mouvement par rapport à (Ri).
1) Ce qu'il faut retenir
a) Loi de composition des vitesses
Elle permet d'écrire la vitesse d'un point matériel $M$ par rapport à un référentiel galiléen fixe (ou absolu) $(R_0)$, à partir de la vitesse de $M$ par rapport à un référentiel intermédiaire mobile (ou relatif) $(R_1)$, lui-même en mouvement par rapport à $(R_0)$. La vitesse de $M$ par rapport à $(R_0)$, dite vitesse absolue, s'écrit :
- $\vec V_R$ : vitesse relative (notée aussi $\vec V_{M/R_1}$), vitesse de $M$ par rapport à $(R_1)$
- $\vec V_E$ : vitesse d'entraînement, correspondant à la vitesse d'entraînement de $(R_1)$ par rapport à $(R_0)$ (mouvement de $(R_1)/(R_0)$)
- Pour $\vec V_R$ : on « immobilise » $(R_1)$ et on détermine la vitesse de $M$ par rapport à $(R_1)$
- Pour $\vec V_E$ : on s'intéresse au mouvement de $(R_1)$ par rapport à $(R_0)$, pour obtenir la vitesse de $(R_1)$ par rapport à $(R_0)$
b) Loi de composition des accélérations
Elle permet d'écrire l'accélération d'un point matériel $M$ par rapport à $(R_0)$, à partir de l'accélération de $M$ par rapport à $(R_1)$ en mouvement par rapport à $(R_0)$. L'accélération de $M$ par rapport à $(R_0)$, dite accélération absolue, s'écrit :
- $\vec a_R$ : accélération relative ($\vec a_{M/R_1}$)
- $\vec a_E$ : accélération d'entraînement, de $(R_1)/(R_0)$
- $\vec a_C = 2\,\vec\omega_{R_1/R_0} \wedge \vec V_{M/R_1}$ : accélération de Coriolis, où $\vec\omega_{R_1/R_0}$ est le vecteur vitesse angulaire instantanée de $(R_1)/(R_0)$. L'accélération de Coriolis existe lorsque $M$ est en mouvement dans $(R_1)$ et que $(R_1)$ est en rotation par rapport à $(R_0)$.
2) En pratique
En pratique
Étudions le mouvement d'une rustine collée sur la roue arrière (rayon $r$) d'une bicyclette, assimilée à un point matériel $M$.
- $(R_0)$ : référentiel fixe lié à la route, base $(\vec i, \vec j, \vec k)$ ; la bicyclette roule à vitesse constante $\vec V_{\text{bic}/R_0} = \dot x\,\vec i$
- $(R_1)$ : référentiel lié à la roue (origine $O_1$, centre de la roue), en translation uniforme par rapport à $(R_0)$, donc $\vec i_1 = \vec i$, $\vec j_1 = \vec j$, $\vec k_1 = \vec k$
- $M$ est en rotation autour de l'axe $O_1\vec k_1$ avec une vitesse angulaire $\omega(t) = \dot\theta(t)$
Vitesse relative : $M$ décrit un cercle de centre $O_1$ et de rayon $r$ par rapport à $(R_1)$ :
Vitesse d'entraînement : $(R_1)$ est en translation par rapport à $(R_0)$ :
Vitesse absolue : combinaison des deux mouvements (rotation de $M$ dans $(R_1)$ + translation de $(R_1)$ par rapport à $(R_0)$) :
