Mécanique : Fiche de révision pour les concours d’entrée aux CPGE, à l’Agrégation, MPI, MPCI et MPSI 2
Fiches 6 à 11
CPGE / MPSI / MP
Fiche 6 : Mouvement de rotation
Les mouvements de rotation sont très nombreux en mécanique (satellite autour d'une planète, électron autour du noyau…). Ils sont caractérisés par des grandeurs appelées « moment », associées à un mobile en rotation autour d'un axe ou d'un point.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Moment d'une force
Le moment d'une force renseigne sur la force qu'il faut appliquer sur un mobile pour le mettre en rotation autour d'un axe ou d'un point. Pour des forces de même norme appliquées en un point $M$, plus le bras de levier $r_i$ est grand, plus le moment de la force est grand, et plus la mise en rotation est facilitée. Le bras de levier est la distance perpendiculaire à la ligne d'action de la force passant par l'axe de rotation $(\Delta)$. Une force colinéaire à $\overrightarrow{OM}$ a un bras de levier nul : elle ne peut pas faire tourner le mobile.
- $\vec{\mathcal{M}}_{F/(O)}$ : moment de $\vec F$ par rapport à $O$ (N.m)
- $\vec F$ : force appliquée sur $M$ (N)
- $\overrightarrow{OM}$ : vecteur entre $O$ (point de l'axe $(\Delta)$ tel que $\overrightarrow{OM} \perp (\Delta)$) et $M$
b) Moment d'inertie
Le moment d'inertie, noté $I$ (unité : kg.m$^2$), reflète l'effet de la masse sur la mise en rotation d'un mobile. Plus la masse d'un corps est concentrée loin de son axe de rotation, plus son moment d'inertie est grand, et plus sa mise en rotation (ou son arrêt) est difficile. Ainsi, pour mettre en rotation deux cylindres de même matériau à la même vitesse angulaire, un cylindre plus massif et de plus grand rayon nécessite une force plus importante.
- $I$ : moment d'inertie du point matériel $M$ (kg.m$^2$)
- $m$ : masse de $M$ (kg)
- $r$ : distance entre $M$ et l'axe de rotation
2) En pratique
En pratique
Comparons le moment de deux forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$, de même intensité, appliquées sur une porte de largeur $\ell$, en un point $A$, dans le repère $(O, \vec i, \vec j, \vec k)$ : $\vec F_1$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{OA}$, $\vec F_2$ fait un angle $\theta$ avec $\overrightarrow{OA}$.
Comme $\sin\theta \leq 1$, le moment de $\vec F_1$ est plus grand que celui de $\vec F_2$ : il est plus facile de faire tourner la porte en appliquant $\vec F_1$ (perpendiculaire à $\overrightarrow{OA}$) qu'en appliquant $\vec F_2$, dont le bras de levier est plus faible.
Fiche 7 : Travail et puissance d'une force
En physique, le travail décrit le résultat de l'application d'une force servant à déplacer un objet sur une certaine distance.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Travail d'une force constante sur un déplacement rectiligne
Pour un point matériel $M$, soumis à une force constante $\vec F$, se déplaçant le long d'un trajet rectiligne $AB$, avec $\alpha$ l'angle entre $\vec F$ et $\overrightarrow{AB}$ :
b) Travail élémentaire
Pour un déplacement élémentaire $d\vec l$ (toujours tangent à la trajoire), suffisamment petit pour considérer $\vec F$ constante, avec $\alpha$ l'angle orienté entre $\vec F$ et $d\vec l$ :
En coordonnées cartésiennes, avec $\vec F = F_x\vec i + F_y\vec j + F_z\vec k$ et $d\vec l = dx\,\vec i + dy\,\vec j + dz\,\vec k$ :
c) Travail total le long d'un trajet fini
Selon les symétries du problème, le déplacement élémentaire peut aussi s'exprimer :
- Coordonnées cylindriques (polaires) : $d\vec l = dr\,\vec u_r + r\,d\theta\,\vec u_\theta + dz\,\vec k$
- Coordonnées sphériques : $d\vec l = dr\,\vec u_r + r\,d\theta\,\vec u_\theta + r\sin\theta\,d\varphi\,\vec u_\varphi$
Le produit scalaire de deux vecteurs exige que leurs projections soient exprimées dans la même base.
d) Puissance d'une force
Cette expression permet aussi d'écrire le travail en fonction de la vitesse :
2) En pratique
En pratique
Un point matériel $M$ de masse $m$ est suspendu à un fil inextensible de longueur $r$ et décrit un mouvement de rotation autour de $O$, repéré par l'angle $\theta(t)$. On calcule le travail des forces entre un point $A$ (altitude $h_A$) et un point $B$ (altitude $h_B$, avec $h_B > h_A$).
- Système : point matériel $M$ de masse $m$
- Référentiel : $(R_0)$ galiléen, base polaire $(\vec u_r, \vec u_\theta)$ liée à $M$
- Bilan des forces : poids $\vec P$ et tension du fil $\vec F_T$
La tension $\vec F_T$ est toujours orthogonale au déplacement ($d\vec l = r\,d\theta\,\vec u_\theta$), donc son travail est nul : $W_{A\to B}(\vec F_T) = 0$.
Pour le poids, $\vec P \cdot d\vec l = -mgr\sin\theta\,d\theta$, d'où :
Fiche 8 : Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique
L'énergie cinétique correspond à l'énergie que possède un corps en mouvement.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Énergie cinétique d'un point matériel
- $E_C$ : énergie cinétique (J)
- $m$ : masse (kg)
- $V_{M/R_0}^2$ : carré de la norme de la vitesse par rapport à $(R_0)$. Grandeur dépendante du référentiel d'étude.
Pour un point matériel en rotation autour d'un axe fixe, il est souvent plus pratique d'utiliser :
b) Théorème de l'énergie cinétique
Pour un point matériel $M$ de masse $m$, soumis à la résultante des forces extérieures $\vec F$, entre une position initiale $A$ (vitesse $V_A$) et une position finale $B$ (vitesse $V_B$), dans un référentiel galiléen $(R_0)$ :
2) En pratique
En pratique
Un point matériel $M$ de masse $m$ glisse sans frottement le long d'une courbe plane $(C)$, lâché sans vitesse initiale en $A$ jusqu'en $B$. On cherche $V_B$.
- Système : point matériel $M$ de masse $m$
- Référentiel : $(R_0)$ galiléen, base cartésienne $(\vec i, \vec j)$
- Bilan des forces : poids $\vec P$, réaction du support $\vec R$
Sans frottement, $\vec R \perp d\vec l$ sur $(C)$, donc $W_{A\to B}(\vec R) = 0$. Le travail du poids s'écrit $W_{A\to B}(\vec P) = \int_{h_A}^{h_B} -mg\,dy = mg(h_A - h_B)$.
D'après le théorème de l'énergie cinétique :
Fiche 9 : Énergie potentielle
On distingue les forces conservatives (travail indépendant du chemin suivi) et les forces non conservatives (travail dépendant du chemin). Seul le cas des forces conservatives est envisagé ici.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Énergie potentielle
b) Forme locale et forme différentielle
En posant $dW(\vec F) = \vec F \cdot d\vec l = -dE_P$ (où $dE_P$ est la différentielle totale de $E_P$), on montre l'équivalence :
c) Travail d'une force dérivant d'un potentiel
d) Exemples de calcul (méthode : chercher si $dW(\vec F)$ est une différentielle)
Cas du poids. Avec l'axe $Oz$ vertical ascendant, $\vec P = -mg\vec k$ et $d\vec l = dx\vec i+dy\vec j+dz\vec k$ :
Cas du ressort. Avec $\vec F_R = -k(\ell-\ell_0)\vec j$ et en posant $\Delta\ell = \ell-\ell_0$ :
2) En pratique
En pratique
La méthode pour prouver qu'une force $\vec F$ dérive d'un potentiel consiste à calculer son travail élémentaire $dW(\vec F)$ et à vérifier s'il s'écrit comme une différentielle totale exacte d'une fonction. Cette fonction, à une constante additive près, est alors l'énergie potentielle associée, comme illustré ci-dessus pour le poids et le ressort.
Fiche 10 : Énergie mécanique
L'énergie mécanique désigne l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Définition
Si une force $\vec F$ (ou la résultante des forces) agissant sur un point $M$ dérive d'un potentiel $E_P$, l'énergie mécanique de $M$, notée $E_{méca}$, est :
b) Conservation de l'énergie mécanique
D'après le théorème de l'énergie cinétique, $W_{A\to B}(\vec F) = E_C(B) - E_C(A)$. Comme $\vec F = -\overrightarrow{\text{grad}}\,E_P$, on a aussi $W_{A\to B}(\vec F) = E_P(A) - E_P(B)$. En combinant :
2) En pratique
En pratique
Un point $M$ de masse $m$ se déplace sans frottement le long d'un demi-cercle $(C)$ de rayon $r$ et de centre $O$, lâché sans vitesse initiale en $A$. L'altitude est repérée par $h$.
Pas de frottement ⇒ forces conservatives ⇒ énergie mécanique constante le long de $(C)$ :
En $A$ (départ, sans vitesse) : $E_C(A) = 0$, $E_P(A) = mgr$ (maximum). En $B$ ($h = r$) : $E_P(B) = 0$, $E_C(B)$ est maximum. L'énergie potentielle se convertit intégralement en énergie cinétique entre $A$ et $B$, tout en gardant $E_{méca}$ constante.
Fiche 11 : Théorème du moment cinétique
Le moment cinétique, noté L (unité : kg.m²·s⁻¹), est un concept très important en physique : il est l'analogue de la quantité de mouvement pour les mouvements de rotation.
1) Ce qu'il faut retenir
a) Moment cinétique
Pour un point matériel $M$ de masse $m$, en rotation autour d'un axe fixe $(\Delta)$ dans le référentiel galiléen $(R_0)$, d'origine $O$ (point fixe sur $(\Delta)$), animé d'une vitesse $\vec V_{M/R_0}$ :
b) Relation entre moment cinétique et moment d'inertie
En notant $r = OM$ et $\theta(t)$ l'angle polaire, dans la base polaire $(\vec u_r, \vec u_\theta)$ :
On reconnaît le moment d'inertie $I = mr^2$, d'où :
- $I$ : moment d'inertie de $M$ par rapport à $O$ fixe sur $(\Delta)$
- $\dot\theta$ : vitesse angulaire de $M$ par rapport à $O$
c) Théorème du moment cinétique
La dérivée du moment cinétique par rapport au temps (dans $(R_0)$ galiléen) s'écrit :
D'après le PFD, $\sum \vec F_{ext} = m\vec a_{M/R_0}$, donc $\overrightarrow{OM}\wedge\sum\vec F_{ext}$ représente la résultante des moments en $O$ des forces extérieures, notée $\sum \vec{\mathcal{M}}_{F_{ext}/(O)}$. Le théorème du moment cinétique s'écrit alors :
2) En pratique
En pratique
Le théorème du moment cinétique est particulièrement utile pour les problèmes de rotation autour d'un axe fixe ou pour les forces centrales (fiche 12), où le moment cinétique se conserve dès lors que la résultante des moments des forces appliquées est nulle en un point fixe (cas notamment des mouvements planétaires et des satellites).
